Un déterminant résume une matrice carrée en un seul nombre qui répond à une question essentielle en algèbre linéaire : cette matrice possède-t-elle un inverse ? Ce calculateur détaille la méthode de développement par cofacteurs pour calculer à la main le déterminant d’une matrice 2×2, 3×3 ou 4×4, en montrant chaque terme signé.

Fonctionnement du développement par cofacteurs

Le développement par cofacteurs (ou de Laplace) calcule un déterminant en choisissant une ligne — toujours la première dans ce calculateur — puis en multipliant chaque élément par le déterminant de sa mineure (matrice restante après suppression de la ligne et de la colonne correspondantes), avec des signes alternés à partir de +. Pour une matrice 2×2, le calcul se réduit à ad − bc. Pour une matrice 3×3, chacun des trois éléments de la première ligne est multiplié par le déterminant de sa mineure 2×2. Pour une matrice 4×4, chacun des quatre éléments est multiplié par le déterminant de sa mineure 3×3, calculé directement par le calculateur. La somme des termes signés donne le déterminant final.

Signification d’un déterminant nul

Un déterminant égal à 0 signifie que la matrice est singulière : ses lignes (ou colonnes) sont linéairement dépendantes. Une ligne peut s’écrire comme combinaison des autres ; la matrice réduit alors l’espace à une dimension inférieure au lieu de l’étendre dans toutes les dimensions. Une matrice singulière n’a pas d’inverse et, si elle représente un système d’équations linéaires, celui-ci n’a aucune solution ou en a une infinité. À l’inverse, un déterminant non nul signifie que la matrice est inversible et possède un inverse unique A⁻¹ tel que A · A⁻¹ soit la matrice identité.

Lire le motif des signes

Les signes + et − du développement par cofacteurs alternent selon un motif en damier : le signe du cofacteur de la ligne i et de la colonne j est (−1) à la puissance (i + j). Comme ce calculateur développe toujours selon la première ligne (i = 1), les signes alternent +, −, +, − dans les colonnes. Ainsi, le terme central du développement 3×3 est soustrait tandis que les premier et troisième sont additionnés ; cela découle directement de la règle (−1)^(i+j).