Les logarithmes répondent à la question : « quel exposant rend cette égalité vraie ? » Si 10^x = 1,000, alors x = log₁₀(1,000) = 3. Des magnitudes des séismes aux niveaux sonores et aux intérêts composés, ils ramènent de très grands écarts à des échelles faciles à lire et interviennent dans des équations essentielles en sciences et en finance.
Les trois bases principales
Trois bases dominent les usages pratiques. La base 10 (logarithme décimal, log x) sert notamment pour l’échelle de Richter, le pH et les décibels : chaque unité correspond à une variation d’un facteur 10. La base e ≈ 2.71828 (logarithme népérien, ln x) apparaît en calcul différentiel et dans les équations différentielles, car la dérivée de e^x est e^x ; elle est donc adaptée à la modélisation des changements continus. On l’utilise pour les intérêts composés en continu, la demi-vie radioactive et les modèles de croissance des populations. La base 2 (logarithme binaire, log₂ x) est au cœur de l’informatique : log₂(1,024) = 10, soit les dix bits d’un compteur binaire à 10 bits. log₂(n) mesure aussi le nombre de questions oui/non nécessaire pour identifier un élément parmi n choix équiprobables. L’entropie de l’information, la compression des données et la complexité de la recherche binaire s’expriment en base 2. Sans base indiquée, on entend généralement la base 10 en ingénierie et en chimie, mais la base e en mathématiques pures et en physique.
Règles des logarithmes et simplification des expressions
Trois règles fondamentales régissent le calcul logarithmique. Produit : log(ab) = log(a) + log(b), la multiplication sous le logarithme devient une addition. Avant les ordinateurs, les règles à calcul et les tables permettaient ainsi de remplacer la multiplication de grands nombres par une addition. Quotient : log(a/b) = log(a) − log(b). Puissance : log(aⁿ) = n × log(a), l’exposant devient un facteur. Ces règles permettent de résoudre les équations exponentielles. Pour 5^x = 200, on obtient x × log(5) = log(200), donc x = log(200)/log(5) = 2.301/0.699 ≈ 3.292 : c’est la formule de changement de base. Ces propriétés interviennent aussi en calcul différentiel et dans la formule des intérêts composés en continu A = Pe^(rt), où isoler t nécessite de prendre le logarithme népérien des deux côtés.
Échelles logarithmiques en sciences
De nombreux phénomènes couvrent des ordres de grandeur trop vastes pour une échelle linéaire. Les échelles logarithmiques les rendent lisibles tout en conservant les rapports de proportionnalité. Sur l’échelle de Richter, chaque unité multiplie l’amplitude par 10 et l’énergie libérée par environ 31.6. Un séisme de magnitude 9 a une amplitude un million de fois supérieure à celle d’un séisme de magnitude 3. L’intensité sonore se mesure en décibels : dB = 10 × log₁₀(I/I₀), avec I₀ = 10⁻¹² W/m², le seuil d’audition. Une conversation à 60 dB est 10⁶ fois plus intense que ce seuil ; un concert à 120 dB, 10¹² fois plus intense. Le pH mesure la concentration en ions hydrogène : pH = −log₁₀([H⁺]). L’eau pure à pH 7 a [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L ; l’acide gastrique à pH 1–2 atteint 10⁻¹ à 10⁻² mol/L, soit jusqu’à 10 millions de fois plus acide. Ces échelles sont utiles lorsque les grandeurs couvrent plusieurs ordres de grandeur.
Logarithmes, finance et croissance
Pour une croissance continue au taux annuel r, le temps de doublement est t = ln(2)/r ≈ 0.693/r, souvent approché en finance par la règle de 70 (temps de doublement ≈ 70/r %). À 7 % par an, il faut environ 70/7 = 10 ans ; avec une inflation de 3 %, le pouvoir d’achat est divisé par deux en environ 23 ans. Le logarithme népérien intervient aussi dans la valeur actuelle sous actualisation continue : PV = FV × e^(−rt), utilisée en évaluation des produits dérivés et en sciences actuarielles. Les rendements logarithmiques, ou continûment composés, sont utiles car ils s’additionnent dans le temps. Une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 33 % ramène au prix de départ ; les rendements logarithmiques (+0.405 et −0.405) s’additionnent à zéro. Les transformations logarithmiques servent aussi à normaliser des données asymétriques avant les analyses statistiques et les régressions ; les rendements boursiers, le PIB et les prix d’actifs suivent souvent une distribution log-normale.
Formule de changement de base
La plupart des calculatrices ne proposent que les touches log₁₀ et ln ; la formule de changement de base permet pourtant de calculer tout logarithme : log_b(x) = ln(x)/ln(b) = log₁₀(x)/log₁₀(b). Par exemple, log₅(200) = ln(200)/ln(5) = 5.298/1.609 ≈ 3.292 ; la vérification 5^3.292 ≈ 200 confirme le résultat. Cette formule est utile pour les bases inhabituelles, comme 2 en informatique, 3 en combinatoire ou 1.05 pour un taux annuel composé de 5 %. Elle montre aussi que tous les logarithmes sont proportionnels, avec un facteur d’échelle 1/ln(b). log₁₀ et ln contiennent donc la même information structurelle. En programmation, de nombreux langages ne proposent que ln (Math.log en JavaScript, math.log en Python) ou log₁₀ ; le changement de base permet alors de calculer précisément log₂ ou une autre base.