De nombreuses fonctions utilisées en physique, en ingénierie, en statistique et en mathématiques appliquées n’ont tout simplement pas de primitive sous forme fermée. La gaussienne eˣ^(−x²), la fonction sinc, la plupart des intégrales de longueur d’arc et une grande partie des intégrales issues de mesures réelles en sont des exemples. L’intégration numérique — approximation d’une intégrale par échantillonnage de la fonction en un nombre fini de points — est la méthode employée par les scientifiques et les ingénieurs. Les trois méthodes de ce calculateur vont de la plus simple (trapèzes) à la plus efficace (Simpson) ; connaître leurs propriétés de convergence aide à choisir la bonne méthode.
Pourquoi proposer trois méthodes ?
La méthode des trapèzes est la plus simple : elle relie les points échantillonnés consécutifs par des segments et additionne les aires des trapèzes obtenus. Son erreur est en O(h²) : diviser le pas h par deux réduit l’erreur d’un facteur quatre. La méthode du point milieu évalue la fonction au centre de chaque sous-intervalle ; contrairement à ce que l’on pourrait penser, elle est plus précise que celle des trapèzes pour un même n, car elle annule les erreurs de courbure du premier ordre accumulées par les trapèzes. La méthode de Simpson ajuste une parabole à chaque groupe de trois points consécutifs ; elle reproduit exactement la courbure quadratique et ne laisse que des termes d’erreur du quatrième ordre. En pratique, à n = 100, Simpson fournit généralement 8 à 10 chiffres exacts, contre 3 à 4 pour les trapèzes. Elle impose seulement deux contraintes : n doit être pair et la fonction intégrée suffisamment régulière pour que ses dérivées quatrièmes soient bornées.
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Le calculateur fournit une valeur exacte pour les sept fonctions intégrées, car leurs primitives sous forme fermée sont connues : ∫xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1), ∫sin x = −cos x, ∫eˣ = eˣ, ∫1/x = ln x, ∫√x = (2/3)x^(3/2). La comparaison de l’estimation numérique avec la valeur exacte mesure réellement l’erreur de la méthode, plutôt que de fournir un intervalle de confiance autodéclaré. Pour des fonctions sans primitive élémentaire (gaussienne, fonction d’erreur, intégrales de Fresnel), les spécialistes appliquent deux méthodes au même n et utilisent l’écart comme estimation de l’erreur. Une méthode plus rigoureuse utilise la quadrature adaptative, qui réduit h uniquement là où la fonction varie rapidement. Pour les fonctions intégrées régulières, Simpson à n fixe entre 50 et 200 est généralement suffisant et plus rapide.
Quand l’intégration numérique perd en précision
Les taux de convergence indiqués supposent que la fonction intégrée est régulière, c’est-à-dire que les dérivées pertinentes sont bornées sur [a, b]. Pour 1/x intégré près de zéro ou √x intégré en x = 0 (où la dérivée est infinie), la convergence se dégrade fortement, car l’analyse de l’erreur repose sur des développements de Taylor qui ne s’appliquent plus. Il en va de même pour les fonctions oscillantes comme sin(1000x) sur [0, 1] : n doit être assez grand pour résoudre chaque oscillation, ce qui peut être coûteux. Pour les intégrales impropres (bornes infinies ou fonction qui diverge aux extrémités), le remède courant consiste à transformer la variable pour ramener l’intervalle infini à un intervalle fini. L’onglet Visualisation de Riemann illustre ce problème : réduisez n à l’aide du curseur et observez les rectangles manquer les zones où la courbe est raide. Lorsque n augmente, ils épousent mieux la courbe, mais la convergence peut stagner pour les fonctions problématiques.