Une série de Fourier décompose toute forme d’onde périodique en une somme d’ondes sinus et cosinus dont les fréquences sont des multiples entiers d’une fréquence fondamentale. Ce calculateur rend cette décomposition visible : il montre quelles harmoniques transportent le plus d’énergie, la vitesse de convergence de l’approximation et la forme des coefficients.

Pourquoi les séries de Fourier sont utiles

L’analyse de Fourier est à la base de la compression audio (MP3), du codage des images (JPEG), des communications sans fil et de l’analyse sismique. Chaque fois que votre téléphone traite un appel vocal, il applique une version rapide de cette décomposition pour convertir le son en composantes fréquentielles, qui peuvent être compressées et transmises efficacement.

L’idée que tout signal périodique peut être représenté exactement comme une somme de sons purs n’allait pas de soi lorsque Fourier l’a proposée en 1807. C’est aujourd’hui l’un des résultats les plus importants des mathématiques appliquées.

Comportement des différentes formes d’onde

Onde carrée : ses transitions brusques nécessitent une infinité d’harmoniques pour être représentées parfaitement. Les coefficients décroissent lentement comme 1/n et le phénomène de Gibbs provoque près de chaque arête un dépassement d’environ 8.9 % qui ne disparaît jamais ; il se resserre simplement lorsque N augmente.

Onde en dent de scie : comme pour l’onde carrée, toutes les harmoniques contribuent, les coefficients décroissent en 1/n et le phénomène de Gibbs apparaît au point de réinitialisation. Cette onde sert aux synthétiseurs à produire des sons brillants et riches en harmoniques.

Onde triangulaire : comme elle est continue (seule sa dérivée présente des sauts), ses coefficients décroissent en 1/n², beaucoup plus rapidement. Quelques harmoniques donnent une excellente approximation sans effet Gibbs. Les synthétiseurs l’utilisent pour produire des sons plus doux.

Lire le tableau des coefficients

Le tableau affiche aₙ (coefficient cosinus) et bₙ (coefficient sinus) pour chaque harmonique. La colonne d’amplitude, √(aₙ² + bₙ²), indique l’énergie apportée par cette harmonique au signal ; la colonne de phase indique à quel moment de la période cette composante atteint son maximum.

Pour les ondes carrées et triangulaires, vous remarquerez que toutes les lignes d’indice n pair sont nulles. Cela s’explique par la symétrie impaire de l’onde carrée ou la symétrie paire de l’onde triangulaire sur une demi-période, qui annule une harmonique sur deux.