La croissance et la décroissance exponentielles décrivent tout ce qui change d’un pourcentage fixe à chaque période plutôt que d’une quantité fixe : l’épargne qui produit des intérêts composés, les populations qui augmentent, les isotopes radioactifs qui se désintègrent et les médicaments qui sont éliminés de la circulation sanguine. Les mathématiques sont identiques dans tous ces cas ; seul le signe du taux et le libellé de l’axe changent. Ce calculateur répond aux trois questions les plus courantes : quelle sera la valeur, quel taux a conduit au résultat et combien de temps faut-il à un taux pour doubler ou diviser une quantité par deux.
Pourquoi les courbes exponentielles sont trompeuses
Une quantité qui croît à un taux de pourcentage constant semble presque stable au début, puis augmente fortement : c’est la fameuse « courbe en bâton de hockey ». Cela s’explique par le fait que l’augmentation de chaque période représente un pourcentage d’une base toujours plus grande : une hausse de 5 % sur 1,000 ajoute 50, tandis qu’une hausse de 5 % sur 10,000 ajoute 500. Le taux ne change jamais, mais l’augmentation absolue se compose. C’est pourquoi l’intuition linéaire (« la hausse a été faible pendant les premières périodes, donc elle restera faible ») sous-estime systématiquement les processus exponentiels : les pandémies, les intérêts composés et la diffusion virale en sont des exemples classiques.
Calculer le taux ou la durée plutôt que la valeur finale
La question n’est souvent pas « quelle sera la valeur ? », mais « quel taux m’a fait passer de A à B ? » ou « combien de temps faut-il pour atteindre B ? ». Dans les deux cas, on utilise les logarithmes. Pour trouver le taux, divisez la valeur finale par la valeur initiale, prenez la racine t-ième (élevez à la puissance 1/t), puis soustrayez 1. Pour trouver la durée, prenez le logarithme naturel du rapport (valeur finale ÷ valeur initiale) et divisez-le par le logarithme naturel de la base de croissance (1 + r) ou de décroissance (1 − r). Le sélecteur « Calculer » de ce calculateur applique ces formules automatiquement. Comprendre la forme du calcul aide toutefois à vérifier le résultat : un taux calculé à partir d’une valeur finale inférieure à la valeur initiale devrait être négatif (sinon, vous avez peut-être choisi le mauvais onglet).
Le temps de doublement et la demi-vie ne dépendent que du taux
L’un des faits les plus utiles au sujet des processus exponentiels est que le temps de doublement et la demi-vie dépendent uniquement du taux, et non de la quantité initiale. Une population de 100 qui augmente de 7 % par période double en 10.2 périodes, tout comme une population de 10 millions au même taux. C’est ce qui rend utile la règle de 70 pour le calcul mental (70 ÷ taux en % ≈ temps de doublement). C’est aussi pourquoi les épidémiologistes, les démographes et les planificateurs financiers citent le temps de doublement plutôt que le taux brut : il traduit un pourcentage abstrait en une durée concrète et comparable.
Composition discrète ou continue
Ce calculateur utilise le modèle discret, final = initial × (1 + r)^t, où la composition a lieu une fois par période. Il convient aux taux de croissance annuels, au décompte des générations ou à tout processus mesuré par étapes entières. La croissance continue, final = initial × e^(kt), suppose au contraire une composition constante, comme si la période était infiniment courte. Les deux modèles sont liés : un taux continu k correspond à un taux discret par période de e^k − 1. Pour la plupart des modèles du monde réel, la forme discrète est plus simple et correspond à la présentation habituelle des taux (« augmente de 5 % par an »). Utilisez-la donc, sauf si votre source fournit expressément une constante de taux continu.