Les valeurs propres et les vecteurs propres décrivent les directions qu’une matrice laisse inchangées, à l’échelle près. Ce concept intervient dans l’analyse des vibrations, la mécanique quantique, l’algorithme PageRank de Google et l’analyse en composantes principales. Ce calculateur résout ces éléments pour une matrice 2×2 ou 3×3 saisie par l’utilisateur et affiche le polynôme caractéristique, les valeurs propres réelles ou complexes et un vecteur propre unitaire pour chacune.
Fonctionnement du solveur
Le calculateur construit d’abord le polynôme caractéristique det(A − λI) à partir de la trace et du déterminant de la matrice ainsi que, pour une matrice 3×3, de la somme des mineurs principaux 2×2. Pour une matrice 2×2, il s’agit d’un polynôme quadratique résolu directement par la formule quadratique. Pour une matrice 3×3, il s’agit d’un polynôme cubique résolu avec le solveur testé utilisé par le calculateur d’équations cubiques : le polynôme caractéristique d’une matrice 3×3 est bien une équation cubique en λ. Une fois les valeurs propres trouvées, le calculateur réduit les lignes de (A − λI) pour trouver, dans son noyau, un vecteur non nul associé à chaque valeur propre, puis le normalise.
Valeurs propres complexes et valeurs répétées
Une matrice composée uniquement de nombres réels peut avoir des valeurs propres complexes lorsqu’elle fait tourner l’espace au lieu de simplement l’étirer le long d’une direction réelle ; la matrice de rotation de 90° des exemples en est l’illustration la plus simple. Dans ce cas, les valeurs propres complexes apparaissent toujours par paires conjuguées, comme les racines complexes d’un polynôme réel. Une matrice peut aussi avoir une valeur propre répétée, c’est-à-dire le même λ comme racine multiple de l’équation caractéristique. Si son espace propre (l’ensemble de ses vecteurs propres) a une dimension égale à sa multiplicité, la matrice reste diagonalisable. Si sa dimension est plus faible — par exemple une seule direction indépendante alors que λ est double ou triple — la matrice est dite défective ; la ligne d’interprétation le signale.
Applications pratiques
Les valeurs propres mesurent l’étirement de l’espace par une matrice dans les directions de ses vecteurs propres, ce qui explique leur présence dans des domaines variés. Les fréquences de vibration naturelles d’une structure sont les valeurs propres de sa matrice de rigidité ; le comportement à long terme d’une chaîne de Markov dépend du vecteur propre associé à sa plus grande valeur propre ; et l’analyse en composantes principales classe les directions d’un jeu de données à partir des valeurs propres de sa matrice de covariance. Dans tous les cas, la question est la même : quelles directions cette matrice traite-t-elle comme particulières, et dans quelle mesure les met-elle à l’échelle ?