La dérivée mesure la vitesse de variation d’une fonction en un point. Géométriquement, c’est la pente de la tangente ; physiquement, c’est un taux instantané : la vitesse dérive de la position, l’accélération de la vitesse et la puissance de l’énergie par rapport au temps. Les dérivées permettent de trouver maxima et minima, de comprendre l’évolution des systèmes et de modéliser des phénomènes.
Ce que signifie une dérivée
La définition formelle est une limite : f′(x) = lim(h→0) [f(x+h)−f(x)] / h. Elle correspond à la pente de la sécante passant par (x, f(x)) et (x+h, f(x+h)) lorsque le second point se rapproche du premier. Si la limite existe, la fonction est dérivable en x et sa dérivée donne la pente exacte de la tangente.
L’équation y = f′(a)(x−a) + f(a) approxime linéairement la fonction près de x = a. Elle est très précise près du point de tangence et moins à mesure qu’on s’en éloigne. Cette propriété fonde la méthode de Newton, les séries de Taylor et l’analyse numérique.
La règle des puissances
La règle d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹ est la règle centrale du calcul différentiel. Elle s’applique aux polynômes, racines (n = 1/2 pour √x), inverses (n = −1 pour 1/x) et autres puissances. Pour les entiers positifs, elle découle du binôme de Newton appliqué à la définition limite : après développement de (x+h)ⁿ, division par h et passage à h→0, seul le terme nxⁿ⁻¹·h subsiste.
La règle s’étend aux exposants réels grâce à xⁿ = eⁿ·ln x ; la démonstration devient un exercice de règle de la chaîne. En pratique, tout polynôme se dérive terme à terme. Beaucoup de fonctions appliquées sont composées de polynômes, exponentielles, logarithmes et fonctions trigonométriques, dont les dérivées se calculent mécaniquement.
Dérivation numérique et analytique
La dérivation analytique applique des règles symboliques pour obtenir une formule exacte. La méthode numérique évalue f en des points voisins et utilise une approximation par différences finies. La première est exacte et éclaire la structure de la fonction ; la seconde ne demande que de pouvoir évaluer f(x), y compris sur des données expérimentales ou une simulation.
La différence centrée f′(x) ≈ [f(x+h)−f(x−h)]/(2h) est préférable à la différence progressive : son erreur est d’ordre h² plutôt que h, donc diviser h par deux réduit l’erreur d’un facteur 4. Un h trop petit provoque une annulation en virgule flottante, car le numérateur soustrait deux nombres presque égaux. En double précision, h ≈ 10⁻⁴ à 10⁻⁶ offre un bon compromis. Le calculateur utilise h = 0.0001 par défaut, soit environ 8 chiffres significatifs pour les fonctions régulières.