Une équation cubique ax³ + bx² + cx + d = 0 possède trois racines en comptant les répétitions et les racines complexes. Il n’est pas toujours évident de savoir si elles sont réelles ou complexes. Ce calculateur trouve les trois racines et utilise le discriminant pour expliquer leur nature.

Fonctionnement du solveur

Le calculateur substitue x = t − b/(3a) pour éliminer le terme en x² et obtenir la forme déprimée t³ + pt + q = 0. La méthode dépend du signe d’une quantité interne calculée avec p et q : si elle est négative, une formule trigonométrique (arccos et cosinus) trouve les trois racines réelles distinctes. Si elle est positive, la formule de Cardan trouve une racine réelle et deux racines complexes conjuguées, avec une fonction de racine cubique qui traite correctement les valeurs négatives. Si elle est nulle ou presque, le calculateur détecte une racine multiple, double ou triple.

Lire le discriminant

Le discriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² se calcule à partir des quatre coefficients, sans résoudre l’équation. Δ > 0 signifie trois racines réelles distinctes ; Δ = 0 signifie qu’au moins deux racines sont confondues ; Δ < 0 signifie une racine réelle et une paire complexe conjuguée. C’est l’extension au degré 3 du discriminant b² − 4ac des équations quadratiques.

Racines complexes par paires et cas a = 0

Lorsqu’une équation cubique a des coefficients réels (a, b, c et d sont tous des nombres réels ordinaires, et non des nombres complexes), ses éventuelles racines complexes apparaissent nécessairement par paires conjuguées, a + bi et a − bi, car leurs parties imaginaires doivent s’annuler pour que le polynôme conserve une valeur réelle. C’est pourquoi ce calculateur, comme tout solveur cubique correct, indique toujours zéro ou deux racines complexes, jamais une seule. Par ailleurs, si vous saisissez a = 0, le terme en x³ disparaît et l’équation n’est plus cubique : elle devient quadratique, bx² + cx + d = 0. Le calculateur utilise alors automatiquement la formule quadratique, puis un solveur linéaire si b est également nul, au lieu de diviser par zéro.