Un nombre complexe prolonge la droite réelle par un second axe perpendiculaire, associé aux multiples de i, l’unité imaginaire telle que i² = −1. Ce guide présente les quatre opérations, le rôle du conjugué dans la division, la description polaire par le module et l’argument, ainsi que l’application du théorème de De Moivre aux puissances et aux racines.
Pourquoi i existe et ce que signifie a + bi
Les nombres réels seuls ne permettent pas de résoudre x² = −1, car le carré d’un réel est toujours positif ou nul. Les mathématiciens ont défini un nouveau nombre, i, tel que i² = −1. Un nombre complexe a + bi associe la partie réelle a à la partie imaginaire b, multiple de i.
Géométriquement, chaque nombre complexe correspond à un point (a, b) dans un plan à deux dimensions : la partie réelle se trouve sur l’axe horizontal et la partie imaginaire sur l’axe vertical. Ce plan d’Argand, aussi appelé plan complexe, traduit les opérations algébriques en géométrie : l’addition devient une addition de vecteurs et la multiplication combine une homothétie et une rotation.
Opérations : addition, soustraction, multiplication et division
L’addition et la soustraction s’effectuent composante par composante : combinez les parties réelles, puis les parties imaginaires. La multiplication se fait par double distributivité, puis on simplifie avec i² = −1 : les termes croisés forment la partie imaginaire, et i·i change de signe et rejoint la partie réelle.
La division nécessite une astuce : multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Comme z·conj(z) = |z|², le dénominateur devient réel et la division se réduit à deux divisions de nombres réels. La division par 0 + 0i n’est pas définie, comme toute division par zéro ; la calculatrice le signale au lieu d’afficher un résultat erroné.
Module, argument et forme polaire
Tout nombre complexe peut aussi s’écrire autrement que sous la forme a + bi. Le module |z| = √(a² + b²) est sa distance à l’origine, calculée grâce au théorème de Pythagore appliqué au point (a, b). L’argument est l’angle entre ce point et l’axe réel positif ; atan2(b, a) le détermine dans chaque quadrant sans division par zéro.
Le module et l’argument donnent ensemble la forme polaire r∠θ, une écriture équivalente du même nombre. Elle est souvent plus pratique que a + bi : multiplier deux nombres complexes en forme polaire revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs arguments.
Le théorème de De Moivre : puissances et racines simplifiées
Multiplier plusieurs fois un nombre complexe par lui-même impliquerait normalement de répéter le développement. Le théorème de De Moivre simplifie l’opération : en forme polaire, z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ). Élevez le module à la puissance n et multipliez l’argument par n. Ainsi, le carré de 1 + i (module √2, argument 45°) a pour module 2 et argument 90°, soit 2i, comme le confirme le développement direct.
Le calcul d’une racine n-ième inverse le processus. Comme les angles se répètent tous les 2π (360°), il existe exactement n racines distinctes, régulièrement espacées sur un cercle de rayon r^(1/n). Chacune vérifie racine^n = z. Par exemple, x³ = 1 possède trois solutions complexes : la racine réelle 1 et deux racines complexes symétriques par rapport à l’axe réel.