La complétion du carré transforme un trinôme de la forme développée ax² + bx + c en forme canonique a(x − h)² + k. Elle révèle immédiatement le sommet de la parabole, sans graphique ni formule quadratique, et permet aussi de démontrer cette formule.
Comment compléter le carré
Partez de ax² + bx + c. Si a = 1, regroupez les termes en x² et x, prenez la moitié du coefficient de x et élevez-la au carré. Ce carré permet de former un trinôme carré parfait. Ajoutez-le et soustrayez-le pour ne pas changer la valeur de l’expression, puis écrivez le carré sous la forme (x − h)² et regroupez les constantes restantes dans k.
Si a ≠ 1, mettez a en facteur dans les deux premiers termes avant de compléter le carré dans les parenthèses, puis redistribuez a sur la constante soustraite. Les formules h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a) donnent directement le même résultat.
Entrées et interprétation
Saisissez a, b et c tels qu’ils apparaissent dans ax² + bx + c. a est le coefficient dominant et ne peut pas être nul : l’expression serait alors du premier degré. b est le coefficient de x et c le terme constant. Les trois coefficients peuvent être positifs, négatifs, décimaux ou entiers.
Les deux résultats h et k forment le sommet (h, k). h indique l’axe de symétrie de la parabole (x = h), et k sa valeur minimale ou maximale.
Limites et cas particuliers
Cette calculatrice traite les coefficients réels d’un trinôme standard ; elle ne calcule pas les racines complexes et ne traite pas les expressions à plusieurs variables. Si a est très proche de 0 sans être nul, h et k peuvent être très grands, car les deux formules divisent par a. Vérifiez vos coefficients si le résultat semble anormalement élevé.
La complétion du carré est liée à la résolution des équations du second degré : égaler la forme canonique à 0 puis isoler x permet de démontrer la formule quadratique. Pour trouver les racines de ax² + bx + c = 0 plutôt que la forme canonique, utilisez la calculatrice de la formule quadratique.