La formule Black-Scholes est l’équation la plus importante des marchés d’options modernes. Publiée en 1973 par Fischer Black, Myron Scholes et, indépendamment, Robert Merton, elle donne un prix fermé pour une option européenne d’achat ou de vente. Aujourd’hui, les traders l’utilisent rarement directement pour trouver un juste prix : ils s’en servent pour convertir les prix observés en volatilité implicite, puis négocient cette volatilité. Comprendre les hypothèses de la formule et ce que mesurent les grecques est fondamental pour négocier des options.

Ce que dit réellement Black-Scholes

La formule exprime le prix d’une option en fonction de six paramètres : cours du sous-jacent (S), prix d’exercice (K), durée jusqu’à l’échéance (T), taux sans risque (r), volatilité (σ) et type d’option (call ou put). La forme classique suppose l’absence de dividendes ; une extension simple prend en charge un rendement continu des dividendes.

Le prix se compose de deux éléments. Pour un call, le gain attendu est S·N(d1) (valeur attendue de l’action si l’option termine dans la monnaie), moins K·e^(−rT)·N(d2) (prix d’exercice actualisé, pondéré par la probabilité risque-neutre de terminer dans la monnaie). N(·) est la fonction de répartition de la loi normale standard. La démonstration repose sur l’absence d’arbitrage : un portefeuille d’actions et d’obligations rééquilibré en continu peut reproduire l’option, et son coût doit égaler le prix de l’option.

Les grecques et l’évolution des options

Les grecques sont les dérivées partielles du prix de l’option par rapport à chacun de ses paramètres. Chacune décrit un aspect différent. Delta est de loin la plus utilisée : elle mesure la sensibilité de l’option aux variations du sous-jacent et approxime la probabilité de finir dans la monnaie. Les teneurs de marché couvrent le Delta en négociant le sous-jacent, ce qui leur laisse une exposition au Gamma, c’est-à-dire à la courbure du gain de l’option.

Thêta et Véga mesurent respectivement les effets du temps et de la volatilité. Les options longues perdent de la valeur chaque jour (Thêta négatif), mais gagnent lorsque la volatilité augmente (Véga positif) : c’est le compromis classique pour les acheteurs de prime. Rhô importe moins au quotidien, mais devient pertinent pour les options à longue échéance (LEAPS) et l’étude de la structure par terme. Pour un portefeuille entièrement couvert en Delta, le résultat est approximativement : ½·Γ·(ΔS)² + Θ·Δt + 𝒱·(ΔIV) — une décomposition Gamma-Thêta-Véga qui joue un rôle majeur dans la tenue de marché des options.

Limites à connaître

Black-Scholes est un modèle, pas la réalité. Il suppose une volatilité constante, alors qu’en pratique les options de prix d’exercice et d’échéances différents s’échangent à des volatilités implicites différentes (smile de volatilité et structure par terme). Il suppose des rendements log-normaux, alors que les rendements réels présentent des queues épaisses et des sauts. Il suppose une négociation continue et aucun coût de transaction, alors qu’une couverture Delta parfaite est impossible en pratique. Il suppose un exercice européen, alors que la plupart des options sur actions américaines sont américaines (l’exercice anticipé n’importe généralement que pour les puts profondément dans la monnaie et les calls avant détachement du dividende).

Les professionnels traitent ces limites de différentes façons. Les modèles de surface de volatilité (SABR, volatilité locale, volatilité stochastique comme Heston) capturent le smile et la structure par terme. Les arbres binomiaux et les méthodes aux différences finies valorisent les options américaines. Les modèles de diffusion avec sauts prennent en compte les queues épaisses. Aucun ne remplace Black-Scholes pour l’usage courant : ils l’étendent ou le corrigent. Sur un écran de courtage, une « VI de 25 % » est presque toujours une volatilité implicite calculée avec Black-Scholes ; c’est le langage commun, même lorsque le modèle sous-jacent est plus sophistiqué.