Gasmoleküle sind in ständiger, chaotischer Bewegung und kollidieren milliardenfach pro Sekunde miteinander. Die mittlere freie Weglänge ist die durchschnittliche Distanz, die ein Molekül zwischen diesen Kollisionen zurücklegt – eine grundlegende Größe in der kinetischen Theorie, die alles erklärt, von der Art und Weise, wie Gase diffundieren, bis hin zur Konstruktion von Vakuumsystemen. Dieser Rechner berechnet es aus Temperatur, Druck und Molekülgröße oder direkt aus der Zahlendichte und der daraus resultierenden Kollisionshäufigkeit.

So funktioniert der Rechner für die mittlere freie Weglänge

Der Rechner verwendet das Standardergebnis der kinetischen Gastheorie für ein verdünntes Gas aus harten, kugelförmigen Molekülen: λ = kT/(√2·π·d²·P). Der √2-Faktor berücksichtigt die Tatsache, dass sich sowohl das Zielmolekül als auch die Moleküle, mit denen es kollidiert, bewegen. Dabei wird die relative Geschwindigkeit zwischen zwei sich bewegenden Molekülen verwendet, anstatt Ziele als stationär zu behandeln. Boltzmanns Konstante k wandelt die Temperatur in die Energieskala um, während der Druck P und der Durchmesser d festlegen, wie dicht gedrängt und „groß“ die Moleküle sind.

Die äquivalente Dichteform, λ = 1/(√2·n·π·d²), tauscht Druck und Temperatur direkt gegen die Zahlendichte n aus – nützlich, wenn Sie bereits wissen, wie viele Moleküle ein bestimmtes Volumen einnehmen, und nicht die makroskopischen P und T. Die beiden Formen stimmen genau überein, da n = P/(kT) über das ideale Gasgesetz, das der Rechner intern verwendet, um beide Tabs gegenzuprüfen.

Eingaben und was sie bedeuten

Temperatur (K) und Druck (Pa) beschreiben den Massenzustand des Gases – beide müssen in absoluten Einheiten (Kelvin, nicht Celsius; Pascal, nicht psi oder Atmosphären) angegeben werden, damit die Formel gilt. Die Molekülvoreinstellungen konvertieren übliche Drücke (1 atm = 101.325 Pa) und Moleküldurchmesser automatisch, sodass Sie nicht nach Einheitenumrechnungen suchen müssen.

Der Moleküldurchmesser ist die schwierigste Eingabe für Intuit: Es handelt sich nicht um die „Größe“ eines Moleküls im strengen Sinne, sondern um seinen effektiven Kollisionsquerschnitt – den Abstand von Mitte zu Mitte bei größter Annäherung während einer Kollision. Bei gewöhnlichen Gasen liegt sie typischerweise bei 200–400 Pikometern und hat einen übergroßen Einfluss auf das Ergebnis, da sie im Nenner quadriert erscheint; Durch die Verdoppelung des Durchmessers wird die mittlere freie Weglänge auf ein Viertel reduziert.

Auf der Registerkarte „Kollisionsrate“ sollte die mittlere Molekülgeschwindigkeit eine Durchschnittsgeschwindigkeit sein (nicht die Spitze der Maxwell-Boltzmann-Verteilung) – verwenden Sie den RMS-Geschwindigkeitsrechner, um einen Wert aus Temperatur und Molmasse abzuleiten, falls Sie noch keinen Wert haben.

Grenzen und Randfälle

Diese Formel geht von einem verdünnten, idealen Gas aus, in dem Moleküle nur durch kurze, elastische Kollisionen mit harten Kugeln interagieren. Es zerfällt bei sehr hohen Drücken oder sehr niedrigen Temperaturen, bei denen zwischenmolekulare Kräfte und Molekülvolumen eine Rolle spielen (d. h. wenn das Gesetz des idealen Gases selbst zu versagen beginnt). Außerdem werden alle Moleküle als identische Kugeln mit einem einzigen Durchmesser behandelt; Bei einer Mischung verschiedener Gase müsste die Berechnung den Partialdruck und den Durchmesser jeder Spezies separat berücksichtigen.

Bei extrem niedrigen Drücken (Hochvakuum) kann die mittlere freie Weglänge die physikalischen Abmessungen des Behälters selbst überschreiten – an diesem Punkt dominieren Molekül-Wand-Kollisionen gegenüber Molekül-Molekül-Kollisionen, und das Gas lässt sich besser als im freien molekularen Strömungsbereich befindlich beschreiben als durch die Kontinuumskinetiktheorie.