Berechnen Sie die Periode, Frequenz, Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung einer einfachen harmonischen Bewegung für ein Masse-Feder-System.
Masse-Feder-System
An einer Feder befestigte Masse in Kilogramm (kg).
Federsteifigkeit, in Newton pro Meter (N/m).
Maximale Gleichgewichtsverschiebung in Metern (m).
Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung zum Zeitpunkt t
Verstrichene Zeit seit der maximalen Verschiebung in Sekunden (s).
Maximale Geschwindigkeit und maximale Beschleunigung treten auf, wenn die Masse die Endpunkte ihrer Schwingung durchläuft und dort kurzzeitig umkehrt. Beide werden aus der oben eingegebenen Masse, Federkonstante und Amplitude berechnet; Es sind keine zusätzlichen Eingaben erforderlich.
Ergebnis
—
Geben Sie zur Berechnung oben die Werte ein.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenω = √(k / m)
📋
Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Beschreiben Sie das Masse-Feder-System
Geben Sie die an der Feder befestigte Masse in Kilogramm, die Federkonstante in Newton pro Meter und die Amplitude der Schwingung in Metern ein. Diese drei Werte definieren die Bewegung vollständig – die Periode und die Frequenz werden während der Eingabe sofort aktualisiert.
2
Lesen Sie den Zeitraum und die Häufigkeit ab
Die Ergebniskarte zeigt immer die Periode (wie lange ein vollständiger Hin- und Her-Zyklus dauert) und die Häufigkeit (wie viele Zyklen pro Sekunde passieren) an. Diese hängen nur von der Masse und Federkonstante ab, niemals von der Amplitude.
3
Wechseln Sie die Ansichten für Position, Geschwindigkeit oder Maximalwerte
Verwenden Sie die Registerkarte „Position/Geschwindigkeit“, um eine bestimmte Zeit einzugeben und zu sehen, wo sich die Masse befindet, wie schnell sie sich bewegt und welche Beschleunigung sie zu diesem Zeitpunkt hat. Verwenden Sie die Registerkarte „Maximalwerte“, um die während des Schwungs erreichte Spitzengeschwindigkeit und Spitzenbeschleunigung anzuzeigen.
⚡
Grundlagen
Formel und Methodik
4 Formeln▸
Winkelfrequenz
ω = √(k / m)
Die Kreisfrequenz ω (im Bogenmaß pro Sekunde) hängt nur von der Federkonstante k (N/m) und der Masse m (kg) ab. Eine steifere Feder oder eine leichtere Masse erhöhen beide ω, wodurch die Schwingung schneller wird.
Zeitraum und Häufigkeit
T = 2π / ω, f = 1 / T
Die Periode T (Sekunden) ist die Zeit für einen vollständigen Zyklus. Die Frequenz f (Hz) ist die Anzahl der Zyklen pro Sekunde. Beides hängt nicht von der Amplitude ab – ein Masse-Feder-System benötigt die gleiche Zeit, um einen Schwung auszuführen, egal ob er klein oder groß beginnt.
Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung zum Zeitpunkt t
Unter der Annahme, dass die Masse bei maximaler Verschiebung (t = 0) aus dem Ruhezustand freigegeben wird, variieren Position x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a alle sinusförmig mit der Zeit, jeweils um 90° phasenverschoben gegenüber der vorherigen.
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
v_max = Aω, a_max = Aω²
Die Masse bewegt sich am schnellsten, wenn sie den Gleichgewichtspunkt (v_max) passiert, und beschleunigt am stärksten an den Extrempunkten ihrer Schwingung, wo sie kurzzeitig die Richtung umkehrt (a_max).
📖
Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Oszillatorische Bewegung, bei der die Rückstellkraft direkt proportional zur Verschiebung aus dem Gleichgewicht ist und in diese zurückzeigt, wodurch im Laufe der Zeit ein gleichmäßiges, sich wiederholendes Sinusmuster entsteht.
Mit ω wird die Änderungsrate des Phasenwinkels der Schwingung bezeichnet, gemessen im Bogenmaß pro Sekunde. Es legt fest, wie schnell das System zyklisch läuft und entspricht √(k/m) für ein Masse-Feder-System.
Die Zeit in Sekunden, die die oszillierende Masse benötigt, um einen vollständigen Zyklus abzuschließen – von der maximalen Verschiebung über das Gleichgewicht bis zum entgegengesetzten Extrem und wieder zurück.
Die maximale Verschiebung der Masse aus ihrer Gleichgewichtsposition (Ruheposition), gemessen in Metern. Eine größere Amplitude bedeutet einen breiteren Schwung, verändert jedoch nicht die Periode.
Das Argument ωt innerhalb der Kosinus- und Sinusfunktionen beschreibt, wo im Schwingungszyklus sich das System derzeit befindet. Sie schreitet linear mit der Zeit mit einer Geschwindigkeit von ω Bogenmaß pro Sekunde voran.
Die Kraft, die immer wirkt, um die Masse wieder ins Gleichgewicht zu bringen. Für eine Feder folgt sie dem Hookeschen Gesetz, F = -kx, und ihre Proportionalität zur Verschiebung macht die Bewegung einfach harmonisch.
Wiederholte Hin- und Herbewegung um einen zentralen Gleichgewichtspunkt. Die einfache harmonische Bewegung ist das einfachste und gebräuchlichste mathematische Schwingungsmodell in der Physik.
👥
Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
🔩
Physikstudent
Standard-Laborfeder
Masse (m) 0.5 kgFederkonstante (k) 200 N/m
Mit ω = √(200 / 0,5) = 20 rad/s ergibt sich für die Periode T = 2π/20 ≈ 0,314 s und für die Frequenz f ≈ 3,18 Hz. Die Federkonstante ist die Eingabe, die das Ergebnis am meisten verändert – eine Verdoppelung von k verkürzt die Periode um den Faktor √2, während eine Verdoppelung der Masse sie um denselben Faktor verlängert.
🎯
Lehrer
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
Amplitude (A) 0,1 mWinkelfrequenz (ω) 20 rad/s
Unter Verwendung von vmax = Aω = 0,1 × 20 = 2 m/s und amax = Aω² = 0,1 × 400 = 40 m/s² erreicht die Masse 2 m/s, wenn sie das Gleichgewicht überschreitet, und erfährt an jedem Extrem ihrer 0,1-m-Schwingung eine Beschleunigung von 40 m/s².
⏱️
Hausaufgabenkontrolle
Positionieren Sie sich zu einem bestimmten Zeitpunkt
Zeit (t) 0,05 sω, A (von oben) 20 rad/s, 0,1 m
Bei t = 0,05 s, ωt = 1 Bogenmaß, also x = 0,1·cos(1) ≈ 0,054 m – etwas mehr als die Hälfte des Weges zurück zum Gleichgewicht vom Ausgangsextrem, wobei Geschwindigkeit und Beschleunigung den übereinstimmenden Sinus- und Kosinustermen in derselben Phase folgen.
🔗
Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
Verwenden Sie eines dieser Formate, um diesen Rechner in einer Arbeit, einem Bericht oder einer Literaturliste zu zitieren.
APA
MLA
📄
Hintergrundwissen
Den einfachen Rechner für harmonische Bewegungen verstehen
Einfache harmonische Bewegung (SHM) beschreibt die sanfte, sich wiederholende Hin- und Herbewegung einer Masse auf einer Feder, eines in kleinen Winkeln schwingenden Pendels oder eines beliebigen Systems, bei dem die Rückstellkraft direkt mit der Verschiebung skaliert. Dieser Rechner modelliert den klassischen Masse-Feder-Fall und wandelt drei physikalische Eingaben – Masse, Federkonstante und Amplitude – in ein vollständiges Bild der Bewegung des Systems über die Zeit um.
So funktioniert der Simple Harmonic Motion Calculator
▸
Der Rechner geht von Newtons zweitem Gesetz aus, das auf eine Feder angewendet wird, die dem Hookeschen Gesetz folgt, F = -kx. Die Lösung dieser Differentialgleichung zeigt, dass die Masse mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) schwingt, unabhängig davon, wie weit sie zurückgezogen wird. Aus ω folgt direkt die Periode T = 2π/ω und die Frequenz f = 1/T. Unter der Annahme, dass die Masse bei maximaler Verschiebung aus dem Ruhezustand gelöst wird, ist ihre Position zu einem späteren Zeitpunkt x(t) = A·cos(ωt), wobei Geschwindigkeit und Beschleunigung durch ein- bzw. zweifache Differenzierung dieses Ausdrucks erhalten werden.
Eingaben und was sie bedeuten
▸
Masse (m) und Federkonstante (k) bestimmen zusammen den Zeitpunkt der Schwingung – wie schnell sie sich wiederholt – durch ω = √(k/m). Die Amplitude (A) legt das Ausmaß der Bewegung fest – wie weit sich die Masse bewegt – hat jedoch keinen Einfluss auf die Periode oder Frequenz, ein charakteristisches Merkmal einer einfachen harmonischen Bewegung. Mit der Zeit (t), die nur auf der Registerkarte „Position/Geschwindigkeit“ verwendet wird, können Sie die Bewegung jederzeit abtasten, um genau zu sehen, wo sich die Masse befindet und wie sie sich bewegt.
Grenzen und Randfälle
▸
Dieses Modell geht von einer idealen, masselosen Feder ohne Reibung oder Luftwiderstand aus, sodass die Amplitude nie abnimmt – reale Systeme verlieren Energie und die Bewegung ist technisch gesehen eine gedämpfte harmonische Bewegung. Es wird außerdem davon ausgegangen, dass die Masse bei maximaler Verschiebung (t = 0 am Amplitudenextremwert) aus der Ruhe kommt; Wenn Ihr System an einem anderen Punkt in seinem Zyklus startet, werden die Positions-/Geschwindigkeits-/Beschleunigungswerte gegenüber den hier angezeigten Werten phasenverschoben sein, obwohl Periode und Frequenz in beiden Fällen unverändert bleiben.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für eine einfache harmonische Bewegung?+
Die Kreisfrequenz beträgt ω = √(k/m), wobei k die Federkonstante und m die Masse ist. Die Position über die Zeit folgt x(t) = A·cos(ωt), wobei A die Amplitude ist – das gleiche ω, das die Periode festlegt, bestimmt auch die Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgleichungen.
Wie finden Sie die Periode der einfachen harmonischen Bewegung?+
Sobald Sie die Kreisfrequenz ω kennen, beträgt die Periode T = 2π/ω. Für ein Masse-Feder-System erweitert sich dies auf T = 2π√(m/k) – eine schwerere Masse oder eine weichere Feder (mit niedrigerem k) erhöhen beide die Periode und machen die Schwingung langsamer.
Was ist die maximale Geschwindigkeit bei einer einfachen harmonischen Bewegung?+
Die maximale Geschwindigkeit beträgt vmax = Aω und wird erreicht, wenn die Masse die Gleichgewichtslage passiert. Sie ist direkt proportional sowohl zur Amplitude als auch zur Winkelfrequenz, sodass sich bei einer Verdoppelung auch die Spitzengeschwindigkeit verdoppelt.
Was ist die maximale Beschleunigung bei einer einfachen harmonischen Bewegung?+
Die maximale Beschleunigung beträgt amax = Aω² und wird an den beiden Enden der Schwingung erreicht, wo die Masse vorübergehend anhält und ihre Richtung umkehrt. Da es mit ω² skaliert, erhöht eine steifere Feder oder eine leichtere Masse die Spitzenbeschleunigung viel schneller als die Spitzengeschwindigkeit.
Beeinflusst die Amplitude die Periode der einfachen harmonischen Bewegung?+
Nein. Bei einer idealen einfachen harmonischen Bewegung hängt die Periode nur von der Masse und der Federkonstanten ab (T = 2π√(m/k)) – ein breiterer Schwung und ein schmalerer Schwung desselben Systems benötigen genau die gleiche Zeit, um einen Zyklus abzuschließen.
Wie unterscheidet sich ein Pendel von einem Masse-Feder-Schwinger?+
Ein einfaches Pendel, das in kleinen Winkeln schwingt, zeigt ebenfalls eine einfache harmonische Bewegung, aber seine Kreisfrequenz hängt von der Schwerkraft und der Länge (ω = √(g/L)) und nicht von einer Federkonstanten und Masse ab. Verwenden Sie den speziellen Pendelrechner für dieses System – die zugrunde liegende Sinusrechnung ist dieselbe, nur die Formel für ω ändert sich.
📄
Speichern und teilen
Erhalten Sie ein PDF im Calculover-Design mit Ihren Ergebnissen
Laden Sie sofort ein einseitiges PDF mit Ihren Ergebnissen herunter. Wenn Sie Ihre E-Mail-Adresse angeben, erhalten Sie gelegentlich Tipps zu unseren Rechnern — kein Spam. Sie können sich jederzeit abmelden. Datenschutz.