Bei einem schwingenden Pendel sieht es so aus, als ob es davon abhängen sollte, wie schwer der Pendelkörper ist, aber das ist nicht der Fall – bei der Kleinwinkelnäherung hängt die Periode nur von der Länge des Pendels und der lokalen Stärke der Schwerkraft ab. Dieser Rechner wendet T = 2π√(L/g) an, um die Periode und Frequenz zu ermitteln, und führt die Gleichung rückwärts aus, um die Größe eines Pendels für eine Zielschwingzeit zu ermitteln.
So funktioniert der Pendelrechner
Der Rechner wendet die klassische Kleinwinkelperiodenformel T = 2π√(L/g) an, wobei L die Länge vom Drehpunkt bis zum Massenschwerpunkt des Bobs und g die lokale Gravitationsbeschleunigung ist. Aus der Periode leitet es die Frequenz (f = 1/T) und die Kreisfrequenz (ω = 2π/T) ab. Auf der Registerkarte „Länge lösen“ wird dieselbe Gleichung neu angeordnet, um die Länge zu ermitteln, die eine Zielperiode ergibt.
Dies ist die Kleinwinkelnäherung: Sie geht davon aus, dass die Schwingungsamplitude klein genug ist (ungefähr unter 15°), dass sin θ ≈ θ im Bogenmaß ist, was die wahre (nichtlineare) Bewegung des Pendels in eine einfache harmonische Bewegung mit einer exakten Periode in geschlossener Form umwandelt. Für alltägliche Schaukeln – eine Standuhr, ein Metronom, eine Schaukellampe – ist diese Näherung äußerst genau.
Warum Masse keine Rolle spielt
Es ist zwar nicht intuitiv, aber ein Bowlingball und ein Tennisball schwingen auf gleich langen Saiten genau mit der gleichen Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist, dass sowohl die Rückstellkraft (die auf den Bob wirkende Schwerkraft) als auch die Trägheit des Bobs (sein Widerstand gegen Beschleunigung) mit der Masse auf genau die gleiche Weise skalieren – die Masse streicht also vollständig aus der Bewegungsgleichung heraus. Galileo wird zugeschrieben, dass er als Erster diesen Isochronismus beobachtete, indem er schwingende Kronleuchter gegen seinen eigenen Puls steuerte.
Was wichtig ist, sind Länge und Schwerkraft. Da die Periode mit der Quadratwurzel der Länge skaliert, verdoppelt eine Verdoppelung der Länge nicht die Periode, sondern multipliziert sie mit √2 ≈ 1,41. Eine Vervierfachung der Länge führt zu einer Verdoppelung der Periode, was die obigen Beispiele direkt zeigen.
Die Schwerkraft verändert alles – die Registerkarte „Schwerkraft“.
Da g innerhalb der Quadratwurzel im Nenner liegt, verlängert eine geringere lokale Schwerkraft die Periode. Dasselbe 1-m-Pendel, das auf der Erde in etwa 2 Sekunden schwingt (g = 9,81 m/s²), benötigt auf dem Mond fast 5 Sekunden (g = 1,62 m/s²) und erreicht in der Nähe der Sonnenoberfläche eine Geschwindigkeit von etwa 0,38 Sekunden (g ≈ 274 m/s²). Auf der Registerkarte „Schwerkraft“ wird die Länge festgehalten und die resultierende Periode über mehrere Welten hinweg verglichen. Dies ist eine praktische Überprüfung der geistigen Gesundheit bei Physikkursen zur Gravitationsbeschleunigung.
Grenzen und Randfälle
Die Formel T = 2π√(L/g) ist nur im Kleinwinkelgrenzwert exakt. Wenn die Schwungamplitude etwa 15–20° überschreitet, dauert die tatsächliche Periode etwas länger, als diese Formel vorhersagt, und die Korrektur nimmt grenzenlos zu, wenn sich die Amplitude 180° nähert. Dieser Rechner modelliert keine Korrekturen mit großer Amplitude, Luftwiderstand oder das Trägheitsmoment eines physikalischen (ausgedehnten, nicht punktförmigen) Pendels – allesamt verschiebt die reale Periode vom idealisierten einfachen Pendel weg.
Randfälle behandelt der Rechner sauber: Eine Länge oder Schwerkraft von Null oder weniger wird zurückgewiesen, anstatt NaN- oder unendliche Ergebnisse zu liefern, da die Quadratwurzel und die Division dort undefiniert sind. Die Lösung nach der Länge lehnt ebenfalls eine nicht positive Zielperiode ab.