Dieser Rechner wendet das dritte Keplersche Gesetz an, um herauszufinden, wie lange ein Satellit, Mond oder Planet für eine Umlaufbahn benötigt – oder, rückwärts betrachtet, welcher Umlaufradius eine Zielperiode oder -geschwindigkeit ergibt. Es wurde für Schüler entwickelt, die ihre Hausaufgaben zur Orbitalmechanik überprüfen, für Bastler, die Satellitenumlaufbahnen erkunden, und für alle, die neugierig sind, warum sich ein GPS-Satellit und ein geostationärer Satellit mit so unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen.
So funktioniert der Umlaufzeitrechner
Bei einer kreisförmigen Umlaufbahn liefert die Schwerkraft genau die Zentripetalkraft, die erforderlich ist, um einen Körper im Kreis zu bewegen. Setzt man das Newtonsche Gravitationsgesetz (F = GMm/r²) gleich der Zentripetalkraftanforderung (F = mv²/r) und löst man es auf, erhält man die Umlaufgeschwindigkeit v = √(GM/r). Die Umlaufzeit ergibt sich dann aus dem Umfang der Umlaufbahn dividiert durch diese Geschwindigkeit, was sich zu Keplers drittem Gesetz vereinfacht: T = 2π√(r³/GM).
Der Rechner geht von einer kreisförmigen Umlaufbahn und einem Zentralkörper aus, dessen Masse das System dominiert (die eigene Masse des umlaufenden Objekts wird als vernachlässigbar behandelt) – dieselben vereinfachenden Annahmen, die für Satelliten, Monde und die meisten einführenden Probleme in der Orbitalmechanik verwendet werden. G ist die Standardgravitationskonstante, 6,674×10⁻¹¹ N·m²/kg².
Eingaben und was sie bedeuten
Die Zentralmasse ist die Masse des Körpers, der ihn umkreist – die der Erde beträgt etwa 5,972×10²⁴ kg. Der Umlaufradius wird vom Mittelpunkt dieses Körpers aus gemessen, nicht von seiner Oberfläche. Daher hat ein Satellit in 400 km Höhe über der Erde einen Radius, der dem Erdradius (6.371 km) plus 400 km oder 6.771 km entspricht. Diese Unterscheidung bringt viele Erstbenutzer zum Stolpern: Höhe und Umlaufradius sind nicht die gleiche Zahl.
Die Registerkarte „Radius lösen“ dreht das Problem um: Geben Sie eine Masse und eine Zielperiode oder -geschwindigkeit an, und es wird der Radius zurückgegeben, der zum Erreichen dieses Werts erforderlich ist. Auf diese Weise ermitteln Ingenieure beispielsweise standardmäßig, dass sich ein geostationärer Satellit in einer Höhe von etwa 35.786 km befinden muss, um mit der Erdrotation von 23,93 Stunden mitzuhalten.
Grenzen und Randfälle
Dieser Rechner modelliert nur Kreisbahnen. Echte Satelliten- und Planetenumlaufbahnen sind normalerweise elliptisch, wobei die Periode immer noch dem dritten Keplerschen Gesetz folgt und die große Halbachse anstelle des Kreisradius verwendet – aber die Geschwindigkeit variiert über die gesamte Umlaufbahn (am schnellsten im Perigäum, am langsamsten im Apogäum) und bleibt nicht konstant, wie es hier der Fall ist. Außerdem werden der atmosphärische Widerstand, die Anziehungskraft anderer Körper (wie der Mond, der die Umlaufbahn eines Satelliten um die Erde stört) und relativistische Korrekturen ignoriert, die alle für eine hochpräzise Missionsplanung wichtig sind. Die Höhenangabe geht lediglich zur Veranschaulichung von einem erdgroßen Zentralkörper (Radius 6.371 km) aus – sie ist nicht aussagekräftig, wenn Umlaufbahnen um andere Planeten, Monde oder Sterne modelliert werden.