Die Geschwindigkeit einer Welle, die sich entlang einer gespannten Saite ausbreitet – einer Gitarrensaite, einem Klavierdraht, einem Seil oder einer Stromleitung – hängt nur von zwei physikalischen Eigenschaften ab: wie stark sie gedehnt ist und wie viel Masse sie pro Längeneinheit enthält. Dieser Rechner wendet die klassische Welle-auf-einer-Saite-Formel v = √(T/µ) an, um die Wellengeschwindigkeit direkt zu ermitteln, oder um rückwärts zu arbeiten und nach der Spannung oder linearen Massendichte zu suchen, die zum Erreichen einer Zielgeschwindigkeit erforderlich ist.
So funktioniert die Wellengeschwindigkeitsformel
Eine Welle auf einer Saite ist eine Querstörung, die sich ausbreitet, weil die Spannung in der Saite jedes verschobene Segment zurück in Richtung Gleichgewicht zieht, während die eigene Masse der Saite dieser Beschleunigung widersteht (Trägheit). Das Gleichgewicht zwischen der Rückstellkraft (Spannung) und der Widerstandsmasse (lineare Dichte) bestimmt, wie schnell sich die Störung ausbreitet: v = √(T/µ).
Da die Beziehung eine Quadratwurzel ist, skaliert die Wellengeschwindigkeit nicht linear mit der Spannung. Eine Vervierfachung der Spannung verdoppelt nur die Wellengeschwindigkeit; Eine Erhöhung der Spannung um 44 % ist erforderlich, um die Geschwindigkeit einer Saite mit einem gegebenen µ zu verdoppeln (da 1,44 ≈ √2 zum Quadrat). Diese Formel geht von einer idealisierten Saite aus – vollkommen flexibel, gleichmäßig und unter gleichmäßiger Spannung entlang ihrer Länge – was eine gute Näherung für dünne Saiten und Drähte ist, bei steifen Stangen oder Kabeln jedoch zusammenbricht, wo der Biegewiderstand wichtig ist.
Eingaben und was sie bedeuten
Spannung (T) ist die Zugkraft in Newton, die die Saite spannt. Bei echten Instrumenten und Strukturen wird die Spannung häufig durch einen Stimmmechanismus (Stimmwirbel einer Gitarre, Ankerspanner eines Kabels) eingestellt und kann von einigen Newton für eine lockere Saite bis zu Hunderten von Newton für eine gespannte Instrumentensaite oder Tausenden von Newton für Strukturkabel reichen.
Die lineare Massendichte (µ) ist die Masse pro Längeneinheit in Kilogramm pro Meter. Dünne, leichte Saiten (wie eine hohe E-Saite einer Gitarre) haben ein kleines µ; dicke, gewickelte Basssaiten oder schwere Kabel haben ein deutlich größeres µ. Wenn Sie μ nicht direkt kennen, leitet es die Registerkarte „Aus Masse und Länge“ ab, indem Sie die Gesamtmasse der Saite durch ihre Länge dividieren. Die Eingabe, die den größten Einfluss auf das Ergebnis hat, ist normalerweise diejenige von Spannung oder μ, bei der Sie sich am wenigsten sicher sind, da beide in die Formel eingehen, aber μ unter einer Quadratwurzel im Nenner eingegeben wird, sodass eine Halbierung von μ denselben Effekt hat wie eine Verdoppelung der Spannung.
Grenzen und Randfälle
Die Formel geht davon aus, dass die Saite vollkommen flexibel ist (keine Biegesteifigkeit), die Spannung über ihre gesamte Länge gleichmäßig ist und die Wellenamplitude klein genug ist, dass sich die Geometrie der Saite beim Schwingen nicht wesentlich ändert. Dabei wird die Dämpfung (Energieverlust durch Luftwiderstand oder innere Reibung) nicht berücksichtigt, die dazu führt, dass echte Wellen über Distanz und Zeit an Amplitude verlieren, obwohl der Geschwindigkeitswert dieser Formel genau bleibt. Dies gilt auch nicht für steife Stäbe, dicke Kabel, bei denen der Biegewiderstand erheblich ist, oder Wellen, die sich durch 2D-/3D-Medien wie Membranen oder Festkörper ausbreiten – diese erfordern andere Wellengleichungen. Die Spannung darf nicht negativ sein und die lineare Massendichte muss streng positiv sein, damit die Formel eine physikalisch sinnvolle, endliche Geschwindigkeit ergibt.