Ermitteln Sie die Widerstandskraft einer kleinen Kugel, die sich durch eine viskose Flüssigkeit bewegt, sowie ihre Sinkgeschwindigkeit (Endgeschwindigkeit) oder lösen Sie das Stokessche Gesetz nach einer fehlenden Variablen – F = 6πµrv.
Kugel- und Flüssigkeitseigenschaften
100 µm = 0,0001 m. Das Gesetz von Stokes gilt nur für kleine, langsame Kugeln.
Widerstandskraft
—
Geben Sie zur Berechnung Viskosität, Radius und Geschwindigkeit ein.
Einschwinggeschwindigkeitseingänge
20 µm = 0,00002 m – ein feines, schluffgroßes Korn.
Quarzsand ≈ 2650 kg/m³.
Absetzgeschwindigkeit
—
Geben Sie zur Berechnung den Radius, die Partikeldichte, die Flüssigkeitsdichte und die Viskosität ein.
Reynolds-Zahl—
Ist das Gesetz von Stokes gültig?—
Suchen Sie nach einer fehlenden Variablen
aufgelöster Wert
—
Wählen Sie eine Variable, legen Sie die Zielwiderstandskraft fest und geben Sie die anderen beiden Werte ein.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte FragenF = 6πµrv
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Geben Sie die Kugel- und Flüssigkeitseigenschaften ein
Geben Sie auf der Registerkarte Widerstandskraft den Radius der Kugel (m), die dynamische Viskosität der Flüssigkeit (Pa·s) und die relative Geschwindigkeit zwischen Kugel und Flüssigkeit (m/s) ein. Die Ergebniskarte wird sofort mit der Stokes-Widerstandskraft F = 6πµrv aktualisiert.
2
Finden Sie die Absetzgeschwindigkeit
Wechseln Sie zur Registerkarte Absetzgeschwindigkeit und geben Sie den Kugelradius, die Partikeldichte, die Flüssigkeitsdichte und die Viskosität der Flüssigkeit ein. Der Rechner gibt die Endgeschwindigkeit (Absetzgeschwindigkeit) zurück, unabhängig davon, ob das Teilchen sinkt oder steigt, und eine Reynolds-Zahlenprüfung, ob das Stokes-Gesetz bei dieser Geschwindigkeit noch gültig ist.
3
Suchen Sie nach einer fehlenden Variablen
Wählen Sie auf der Registerkarte „Lösen“ die Variable aus, die Sie nicht kennen (Radius, Viskosität oder Geschwindigkeit), legen Sie eine Zielwiderstandskraft fest und geben Sie die anderen beiden ein – der Rechner ordnet F = 6πµrv neu, um den fehlenden Wert zu finden.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Stokes‘ Widerstandskraft
F = 6πµrv
Dynamische Viskosität µ (Pa·s) mal 6π mal Kugelradius r (m) mal relative Geschwindigkeit v (m/s) durch die Flüssigkeit, was die Widerstandskraft F in Newton ergibt. Gilt nur für kleine Kugeln, die sich langsam genug bewegen, dass die Strömung um sie herum laminar bleibt.
Sinkgeschwindigkeit (Endgeschwindigkeit).
v = 2r²(ρp − ρf)g / (9µ)
Gleicht die Schwerkraft abzüglich des Auftriebs gegen den Stokes-Widerstand aus. r ist der Kugelradius (m), ρp und ρf sind die Partikel- und Flüssigkeitsdichte (kg/m³), g = 9,81 m/s² und µ ist die dynamische Viskosität (Pa·s). Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass das Partikel eine geringere Dichte als die Flüssigkeit hat und aufsteigt, anstatt zu sinken.
Gültigkeitsbedingung für niedrige Reynoldszahlen
Re = ρf·v·(2r)/µ ≪ 1
Das Gesetz von Stokes geht von einer kriechenden (laminaren, Low-Re) Strömung um die Kugel aus. Dieser Rechner berechnet Re unter Verwendung des Kugeldurchmessers als charakteristische Länge und markiert Ergebnisse, bei denen Re über etwa 1 steigt, wo die Formel beginnt, den tatsächlichen Widerstand zu unterschätzen.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Eine Formel, die die Widerstandskraft auf eine kleine Kugel beschreibt, die sich langsam durch eine viskose Flüssigkeit bewegt, F = 6πµrv, abgeleitet von George Gabriel Stokes im Jahr 1851 für den Kriechströmungsbereich (niedrige Reynolds-Zahl).
Die Widerstandskraft, die eine Flüssigkeit auf ein sich durch sie bewegendes Objekt ausübt und die der Richtung der Relativbewegung entgegenwirkt. Im Stokes-Regime wächst es linear mit Geschwindigkeit, Radius und Viskosität.
Auch Endgeschwindigkeit genannt – die konstante Geschwindigkeit, die ein Teilchen erreicht, wenn die nach unten gerichtete Schwerkraft (minus Auftrieb) die nach oben gerichtete Widerstandskraft genau ausgleicht, sodass die Beschleunigung stoppt.
Der Prozess, bei dem sich in einer Flüssigkeit suspendierte Partikel unter der Schwerkraft absetzen. Das Stokes-Gesetz ist das klassische Modell zur Vorhersage, wie schnell sich Partikel einer bestimmten Größe absetzen, z. in der Wasseraufbereitung oder Bodenanalyse.
Der Widerstand einer Flüssigkeit gegen Strömung oder Scherung, hier gemessen als dynamische Viskosität µ in Pascalsekunden (Pa·s). Wasser hat bei Raumtemperatur etwa 0,001 Pa·s; Honig und Glycerin sind weitaus höher.
Das Gesetz von Stokes wurde speziell für eine glatte, starre Kugel abgeleitet. Nicht-kugelförmige Partikel (Flocken, Fasern, unregelmäßige Körner) erfahren einen unterschiedlichen Widerstand und erfordern einen Formkorrekturfaktor, der hier nicht modelliert wird.
Das Strömungsregime (Re ≪ 1, manchmal auch Kriech- oder Stokes-Strömung genannt), bei dem viskose Kräfte gegenüber Trägheitskräften dominieren. Das Gesetz von Stokes ist nur in diesem Bereich korrekt – oberhalb von etwa Re = 1 beginnt sich die Strömung von der Kugel zu lösen und der tatsächliche Widerstand übersteigt die Stokes-Vorhersage.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Ziehen Sie an einer fallenden Kugel
Eine winzige Perle, die sich durch Glycerin bewegt
Radius 0,0005 mViskosität 1,49 PasGeschwindigkeit 0,02 m/s
F = 6π × 1,49 × 0,0005 × 0,02 ≈ 0,000281 N. Selbst eine sich langsam bewegende, winzige Kugel erfährt in einer hochviskosen Flüssigkeit wie Glycerin einen messbaren Widerstand – dies ist die gleiche Physik, die in Kugelfallviskosimetern zur Messung der Viskosität einer Flüssigkeit verwendet wird.
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Sedimentation eines Schluffkorns
Ein feines Schlickkorn, das sich durch stilles Wasser absetzt
v = 2 × 0,00002² × (2650 − 1000) × 9,81 / (9 × 0,001) ≈ 0,00144 m/s. Die Reynolds-Zahl beträgt hier nur etwa 0,058 – bequem innerhalb des gültigen Bereichs des Stokesschen Gesetzes – weshalb die Formel Sedimentanalysetechniken wie der Aräometermethode für feine, schluffgroße Körner zugrunde liegt.
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Wo das Gesetz von Stokes zusammenbricht
Ein größeres, schneller fallendes Teilchen im Wasser
Die Formel sagt eine schnelle Absetzgeschwindigkeit voraus, aber die resultierende Reynolds-Zahl liegt weit über der Kriechströmungsgrenze Re ≈ 1 – die Strömung trennt sich hinter dem Partikel und der tatsächliche Widerstand ist höher als das Stokes-Gesetz vorhersagt, sodass die tatsächliche Absetzgeschwindigkeit niedriger ist als der berechnete Wert. Dies ist genau die Low-Re-only-Beschränkung, die die Gültigkeitsprüfung des Rechners abfangen soll.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
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Hintergrundwissen
Wie das Gesetz von Stokes den Luftwiderstand und die Setzgeschwindigkeit vorhersagt
Im Jahr 1851 berechnete George Gabriel Stokes die Widerstandskraft einer kleinen Kugel, die durch eine viskose Flüssigkeit kriecht – ein Ergebnis, das auch heute noch die Grundlage für die Sedimentanalyse, Viskosimetrie und Partikelgrößenmessung ist. Dieser Rechner wendet F = 6πµrv an, um den Widerstand direkt zu ermitteln, oder ordnet das Kräftegleichgewicht zwischen Schwerkraft, Auftrieb und Widerstand neu, um herauszufinden, wie schnell sich ein Partikel in einer Flüssigkeit absetzt (oder aufsteigt).
So funktioniert der Stokes-Gesetz-Rechner
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Die Widerstandskraft von Stokes, F = 6πµrv, ergibt sich aus der Lösung der Fluidströmungsgleichungen für eine Kugel, die sich langsam genug bewegt, dass die Trägheit im Vergleich zur viskosen Reibung vernachlässigbar ist – das sogenannte Kriechströmungsregime. Die Formel für die Absetzgeschwindigkeit erweitert dies, indem sie den Widerstand gleich der nach unten gerichteten Nettokraft der Schwerkraft abzüglich des Auftriebs (der vom Dichteunterschied zwischen dem Partikel und der Flüssigkeit abhängt) setzt und dann nach der Geschwindigkeit auflöst, bei der sich diese Kräfte ausgleichen. Da dieses Gleichgewicht beide Richtungen begünstigen kann, steigt ein Partikel, das weniger dicht ist als die umgebende Flüssigkeit, eher auf, als dass es sich absetzt – der Rechner meldet dies explizit, anstatt es als Fehler zu behandeln.
Eingaben und was sie bedeuten
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Radius (m) ist der Radius der Kugel, nicht der Durchmesser – das Gesetz von Stokes wird speziell für Kugeln abgeleitet, daher benötigen unregelmäßig geformte Partikel einen Formkorrekturfaktor, den dieser Rechner nicht anwendet. Die dynamische Viskosität µ (Pa·s) ist eine Eigenschaft der Flüssigkeit; Wasser hat etwa 0,001 Pa·s, während Glycerin etwa 1,49 Pa·s hat. Partikeldichte und Flüssigkeitsdichte (kg/m³) sind nur für die Berechnung der Absetzgeschwindigkeit von Bedeutung – ihre Differenz, nicht ihre Absolutwerte, bestimmt das Ergebnis. Die Geschwindigkeit (m/s) auf der Registerkarte „Drag Force“ ist die relative Geschwindigkeit zwischen der Kugel und der Flüssigkeit, unabhängig davon, wie diese Bewegung entsteht.
Grenzen und Randfälle
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Das Gesetz von Stokes ist nur im Bereich niedriger Reynolds-Zahlen (Kriechströmung) genau, ungefähr Re ≪ 1, wobei Re = ρf·v·(2r)/µ unter Verwendung des Kugeldurchmessers. Oberhalb von etwa Re = 1 beginnt sich die Strömung von der Rückseite der Kugel abzulösen, und der reale Widerstand übersteigt die Stokes-Vorhersage – die Registerkarte „Absetzgeschwindigkeit“ markiert dies mit einer Reynolds-Zahlenprüfung. Die Formel geht auch von einer unendlichen, stillen Newtonschen Flüssigkeit aus; Nahegelegene Behälterwände (der „Wandeffekt“), Partikel-Partikel-Wechselwirkungen in konzentrierten Suspensionen, nicht-sphärische Formen oder komprimierbare oder nicht-Newtonsche Flüssigkeiten werden nicht berücksichtigt. Für schnell fallende oder größere Partikel verwenden Sie stattdessen eine vollständige Korrelation des Widerstandskoeffizienten.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für das Stokessche Gesetz?+
F = 6πµrv, wobei µ die dynamische Viskosität der Flüssigkeit (Pa·s), r der Kugelradius (m) und v die Relativgeschwindigkeit zwischen der Kugel und der Flüssigkeit (m/s) ist. Das Ergebnis F ist die Widerstandskraft in Newton.
Wie wird die Sinkgeschwindigkeit berechnet?+
Die Sinkgeschwindigkeit (Endgeschwindigkeit) gleicht Schwerkraft gegen Auftrieb und Widerstand aus: v = 2r²(ρp − ρf)g/(9µ), wobei ρp und ρf die Partikel- und Flüssigkeitsdichten sind. Sobald der Widerstand die Netto-Gravitations-/Auftriebskraft genau aufhebt, hört das Teilchen auf zu beschleunigen und fällt (oder steigt) mit dieser konstanten Geschwindigkeit.
Wann ist das Stokessche Gesetz gültig?+
Das Gesetz von Stokes gilt nur im Bereich der niedrigen Reynolds-Zahl (Kriechströmung), etwa Re ≪ 1, was typischerweise bedeutet, dass sich kleine Kugeln (Mikrometer bis einige Millimeter) langsam durch eine viskose Flüssigkeit bewegen. Oberhalb von etwa Re = 1 trennt sich die Strömung und der tatsächliche Widerstand übersteigt die Stokes-Vorhersage, daher markiert dieser Rechner Ergebnisse außerhalb dieses Bereichs.
Gilt das Stokessche Gesetz für die Sedimentation?+
Ja – das Gesetz von Stokes ist die klassische Grundlage für die Vorhersage, wie schnell sich feine Partikel (wie Schlick, Ton oder Sand) unter der Schwerkraft aus einer Flüssigkeit absetzen, und es wird in Techniken wie der Aräometermethode zur Analyse der Bodenpartikelgröße und beim Entwurf von Absetzbecken für die Wasseraufbereitung verwendet.
Welche Einheiten verwendet dieser Rechner?+
Der Radius wird in Metern (m), die Viskosität in Pascalsekunden (Pa·s), die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s), die Dichten in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) und die Widerstandskraft in Newton (N) angegeben. Die Reynolds-Zahl selbst ist dimensionslos.
Wie unterscheidet sich der Stokes-Widerstand von anderen Widerstandsformeln?+
Der Stokes-Widerstand gilt nur für den Bereich niedriger Reynolds-Zahlen, wo der Widerstand linear mit der Geschwindigkeit skaliert (F ∝ v). Bei höheren Reynolds-Zahlen – größeren, sich schneller bewegenden Objekten – folgt der Widerstand stattdessen dem quadratischen Newtonschen Widerstandsgesetz (F ∝ v²) mit einem Widerstandskoeffizienten, der von Form und Strömungsbedingungen abhängt, ein anderes Regime, das dieser Rechner nicht modelliert.
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