Eine Gitarrensaite, eine Flöte und eine Orgelpfeife erzeugen alle den Klang auf die gleiche grundlegende Weise: Eine Welle wird innerhalb einer festen Länge auf sich selbst zurückgeworfen, und nur bestimmte Frequenzen passen in diese Länge, ohne sich selbst aufzuheben. Dieser Rechner ermittelt diese Frequenzen – die Harmonischen – für eine an beiden Enden befestigte Saite, ein an beiden Enden offenes Rohr oder ein an einem Ende geschlossenes Rohr und zeigt, wie sich der Fall mit geschlossenem Rohr von den beiden anderen unterscheidet.
Randbedingungen entscheiden darüber, welche Frequenzen überleben
Eine Welle, die sich entlang einer Schnur oder in einem Rohr ausbreitet, wird reflektiert, wenn sie auf eine Grenze trifft. Wenn die reflektierte Welle und die ursprüngliche Welle perfekt ausgerichtet sind – Scheitel auf Scheitelpunkt, Tal auf Tal – verstärken sie sich gegenseitig zu einem stabilen, stationären Muster: einer stehenden Welle. Wenn sie nicht ausgerichtet sind, interferiert die Welle destruktiv mit sich selbst und stirbt aus. Ob eine Frequenz anliegt, hängt ganz von den Randbedingungen an jedem Ende ab. Für eine an beiden Enden feste Zeichenfolge und ein an beiden Enden offenes Rohr gilt dieselbe Regel: Beide Enden müssen Knoten (Zeichenfolge) oder Bäuche (offenes Rohr) sein, was nur dann der Fall ist, wenn die Länge einer ganzen Zahl von Halbwellenlängen entspricht – L = n·λ/2, was fn = n·v/(2L) für jede positive ganze Zahl n ergibt.
Warum ein geschlossenes Rohr nur ungerade Harmonische erzeugt
Ein an einem Ende geschlossenes Rohr weist nicht übereinstimmende Randbedingungen auf: Das geschlossene Ende muss ein Knoten sein (die Luft kann sich dort nicht bewegen) und das offene Ende muss ein Gegenknoten sein (die Luft bewegt sich frei). Diese Kombination passt nur eine Viertelwellenlänge plus eine beliebige ganze Anzahl zusätzlicher Halbwellenlängen in die Länge des Rohrs – L = n·λ/4 nur für ungerade n. Sogar Werte von n würden erfordern, dass das offene Ende ebenfalls ein Knoten ist, was der physikalischen Randbedingung widerspricht, sodass sich diese Frequenzen einfach nie bilden. Das praktische Ergebnis: Die Grundfrequenz einer geschlossenen Pfeife ist genau halb so hoch wie die einer offenen Pfeife oder Saite gleicher Länge, und sie überspringt jede gerade Harmonische vollständig – was einer der Gründe dafür ist, dass Klarinetten (weitgehend geschlossenes Pfeifenverhalten) anders klingen als Flöten (offenes Pfeifenverhalten), selbst wenn sie auf eine ähnliche Länge gebaut sind.
Knoten, Schwingungsbäuche und Obertöne gemeinsam lesen
Jede Harmonische über der Grundwelle wird als Oberton bezeichnet, und jede fügt entlang der Länge ein weiteres Knoten-Schwingungs-Paar hinzu. Die Grundschwingung (n=1) hat das einfachste Muster – einen einzelnen Schwingungsbauch in der Mitte einer Saite oder am offenen Ende eines Rohrs. Echte Instrumente erzeugen selten eine reine einzelne Harmonische; Sie erzeugen eine Mischung, die vom Grundton dominiert wird, mit darüber geschichteten zunehmend leiseren Obertönen, und die relative Stärke dieser Obertöne ist ein großer Teil dessen, was eine Geige vom Klang einer Flöte unterscheidet, die genau denselben Grundton spielt. Auf der Registerkarte „Obertonreihen“ dieses Rechners wird der gesamte Stapel harmonischer Frequenzen angezeigt, die Ihr System erzeugen kann. Dies ist der Ausgangspunkt für das Verständnis dieses satteren, realen Klangs.