Ermitteln Sie anhand des Radius, der Druckdifferenz, der Viskosität und der Länge den Volumenstrom durch ein Rohr, lösen Sie nach einer fehlenden Variablen auf oder sehen Sie, wie empfindlich der Durchfluss auf den Radius reagiert – Q = πr⁴ΔP/(8µL).
Rohr- und Flüssigkeitseigenschaften
1 cm = 0,01 m. Verwenden Sie den Innenradius, nicht den Durchmesser.
Wasser ≈ 0,001 Pa·s bei Raumtemperatur.
Volumenstrom
—
Geben Sie zur Berechnung den Radius, die Druckdifferenz, die Viskosität und die Länge ein.
Durchflussrate (l/min)—
Radiusempfindlichkeitr⁴-Gesetz
Suchen Sie nach einer fehlenden Variablen
Benutzen Sie wissenschaftliche Schreibweise, z.B. 4e-7 für 4×10⁻⁷.
aufgelöster Wert
—
Wählen Sie eine Variable, legen Sie die Zieldurchflussrate fest und geben Sie die anderen drei Werte ein.
Sehen Sie, wie sich die Durchflussrate mit dem Radius ändert
Q ∝ r⁴, daher ist die Durchflussrate äußerst empfindlich vom Radius – ein verdoppelter Radius bedeutet das 16-fache des Durchflusses und ein halbierter Radius bedeutet 1/16 des Durchflusses, obwohl sich ΔP, µ und L nie geändert haben.
Durchflussraten im aktuellen Radius
—
Geben Sie Radius, Druckdifferenz, Viskosität und Länge ein, um die Empfindlichkeitstabelle anzuzeigen.
Durchflussrate vs. Radius-Multiplikator
Radius
Durchflussrate
vs. Strom
—
Jede Zeile skaliert den aktuellen Radius mit dem aufgeführten Multiplikator; Die Durchflussmenge skaliert mit dem Multiplikator bis zur 4. Potenz.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte FragenQ = πr⁴ΔP / (8µL)
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Geben Sie die Rohr- und Flüssigkeitseigenschaften ein
Geben Sie auf der Registerkarte „Durchflussrate“ den Innenradius des Rohrs (m), die Druckdifferenz, die den Fluss antreibt (Pa), die dynamische Viskosität der Flüssigkeit (Pa·s) und die Länge des Rohrs (m) ein. Für ein Laminarströmungsergebnis müssen alle vier Eingaben größer als Null sein.
2
Lesen Sie die Durchflussmenge und den r⁴-Hinweis ab
Die Ergebniskarte zeigt den Volumenstrom Q sowohl in m³/s als auch in L/min sowie eine Interpretation, die erklärt, wie empfindlich Q speziell auf den Radius reagiert – da Q mit r⁴ skaliert, dominieren kleine Änderungen des Radius das Ergebnis weitaus stärker als gleichprozentige Änderungen des Drucks, der Viskosität oder der Länge.
3
Lösen Sie nach einer fehlenden Variablen oder untersuchen Sie die Radiusempfindlichkeit
Wählen Sie auf der Registerkarte „Lösen“ die Variable aus, die Sie nicht kennen (Radius, Druckdifferenz, Viskosität oder Länge), legen Sie eine Zieldurchflussrate fest und geben Sie die anderen drei ein – der Rechner ordnet Q = πr⁴ΔP/(8µL) neu, um sie zu finden. Auf der Registerkarte „Radiusempfindlichkeit“ zeigt die Tabelle genau, wie sich die Durchflussrate bei 0,5×, 0,75×, 1,25×, 1,5× und 2× des aktuellen Radius ändert.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Hagen-Poiseuille-Gleichung
Q = πr⁴ΔP / (8µL)
Der Volumenstrom Q (m³/s) ist gleich π mal Rohrradius r (m) hoch 4. Potenz, mal der Druckdifferenz ΔP (Pa) über die Rohrlänge, dividiert durch 8 mal die dynamische Viskosität µ (Pa·s) mal der Rohrlänge L (m).
Die r⁴-Empfindlichkeitsbeziehung
Q₂/Q₁ = (r₂/r₁)⁴
Da die Durchflussrate von der 4. Potenz des Radius abhängt, entspricht das Verhältnis zweier Durchflussraten dem Verhältnis ihrer Radien erhöht zur 4. Potenz – ein 2-facher Radius ergibt das 16-fache des Durchflusses, ein 0,5-facher Radius ergibt 1/16 des Durchflusses, völlig unabhängig von ΔP, µ oder L.
Gültigkeitsbedingung
Nur bei laminarer Strömung (niedrige Reynolds-Zahl)
Das Gesetz von Poiseuille geht von einer stetigen, laminaren Strömung einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit durch ein starres, gerades zylindrisches Rohr aus. Es bricht zusammen, sobald die Strömung turbulent wird – überprüfen Sie die Reynolds-Zahl, wenn Sie nicht sicher sind, welches Regime gilt.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Eine Gleichung (auch Hagen-Poiseuille-Gleichung genannt), die den Volumenstrom einer Newtonschen Flüssigkeit bei stetiger, laminarer Strömung durch ein starres zylindrisches Rohr beschreibt: Q = πr⁴ΔP/(8µL).
Strömung, die sich in glatten, parallelen Schichten mit minimaler Vermischung bewegt. Das Gesetz von Poiseuille gilt nur in diesem Regime – es beschreibt keine turbulente, chaotische Strömung.
Das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit einen Querschnitt passiert, wird mit Q bezeichnet und normalerweise in m³/s gemessen oder in intuitivere Einheiten wie Liter pro Minute (L/min) umgerechnet.
Der Strömungs- oder Scherwiderstand einer Flüssigkeit wird als µ (dynamische Viskosität) bezeichnet und in Pascalsekunden (Pa·s) gemessen. Eine höhere Viskosität bedeutet mehr Widerstand und bei sonst gleichen Bedingungen eine geringere Durchflussrate.
Der Druckunterschied ΔP, der die Flüssigkeit durch das Rohr treibt, geteilt durch die Rohrlänge – die Kraft pro Flächeneinheit, die die Flüssigkeit gegen den viskosen Widerstand nach vorne drückt.
Der Innenradius r des Rohres (halber Innendurchmesser). Die Durchflussrate ist proportional zu r⁴, was den Radius zur mit Abstand empfindlichsten Variablen im Poiseuille-Gesetz macht.
Der vollständige Name des Gesetzes geht auf Gotthilf Hagen und Jean Léonard Marie Poiseuille zurück, die in den 1840er Jahren unabhängig voneinander die Beziehung für laminare Rohrströmungen herleiteten.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Wasser durch ein kleines Rohr
Ein Rohr mit einem Radius von 1 cm, das Wasser unter einem geringen Druckunterschied transportiert
Radius 0,01 mDruckunterschied 1.000 PaViskosität 0,001 Pa·sLänge 1 m
Q = π × 0,01⁴ × 1.000 / (8 × 0,001 × 1) ≈ 3,93 × 10⁻³ m³/s oder etwa 236 l/min – die sehr niedrige Viskosität von Wasser bedeutet, dass selbst eine bescheidene Druckdifferenz von 1.000 Pa einen großen Durchfluss durch ein Rohr mit 2 cm Durchmesser antreibt. (In der Praxis wäre die tatsächliche Strömung bei dieser Geschwindigkeit turbulent und nicht laminar – das Gesetz von Poiseuille wird hier als idealisierte Formel angewendet; siehe Abschnitt „Grenzwerte“.)
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Der r⁴-Effekt, isoliert
Gleiches Rohr wie oben, jedoch halbierter Radius auf 0,005 m
Radius 0,005 mDruckunterschied 1.000 PaViskosität 0,001 Pa·sLänge 1 m
Q = π × 0,005⁴ × 1.000 / (8 × 0,001 × 1) ≈ 2,45 × 10⁻⁴ m³/s (ca. 14,7 L/min) – genau 1/16 der ursprünglichen Durchflussrate, auch wenn sich sonst nichts geändert hat. Die Halbierung des Radius, nicht des Drucks oder der Länge, hat die Strömung zerstört.
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Annäherung an den Blutfluss
Eine kleine Arteriole, die als starres Rohr modelliert ist, das Blut transportiert
Radius 0,0001 m (0,1 mm)Druckunterschied 1.330 Pa (~10 mmHg)Viskosität 0,0035 Pa·s (Blut)Länge 0,01 m
Q ≈ π × 0,0001⁴ × 1.330 / (8 × 0,0035 × 0,01) ≈ 1,49 × 10⁻⁹ m³/s (ca. 0,09 ml/min). Dabei handelt es sich nur um eine Näherung aus dem Lehrbuch – Blut ist keine perfekt Newtonsche Flüssigkeit und Gefäße sind nicht vollkommen starr, sodass der tatsächliche physiologische Fluss von der Idealformel abweicht, insbesondere bei kleinen Gefäßen.
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Quellenangabe
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APA und MLA▸
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Hintergrundwissen
Wie das Gesetz von Poiseuille den Rohrfluss erklärt
Jean Léonard Marie Poiseuille leitete diese Gleichung in den 1840er Jahren bei der Untersuchung des Blutflusses ab und sie ist nach wie vor das Standardinstrument zur Vorhersage, wie schnell sich eine Flüssigkeit unter laminaren Bedingungen durch ein Rohr bewegt. Q = πr⁴ΔP/(8µL) sieht einfach aus, aber seine wichtigste Lektion ist auf den ersten Blick leicht zu übersehen: Die Durchflussrate hängt vom Rohrradius in der 4. Potenz ab, was den Radius zum stärksten Hebel in der gesamten Gleichung macht.
So funktioniert der Poiseuille-Gesetz-Rechner
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Der Rechner wendet Q = πr⁴ΔP/(8µL) direkt an: Rohrradius r (m) erhöht auf die 4. Potenz, mal die Druckdifferenz ΔP (Pa), die die Strömung antreibt, geteilt durch 8 mal dynamische Viskosität µ (Pa·s) mal Rohrlänge L (m). Auf der Registerkarte „Lösen“ wird dieselbe Gleichung algebraisch neu angeordnet, um eine der vier Eingaben bei gegebener Zieldurchflussrate und die anderen drei zu isolieren. Für die Lösung nach dem Radius muss eine vierte Wurzel gezogen werden. Dies ist die schwierigste Neuordnung, wird jedoch automatisch durchgeführt.
Eingaben und was sie bedeuten
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Der Radius (m) ist der Innenradius des Rohrs, nicht der Durchmesser – eine häufige Ursache für Fehler mit dem Faktor 16, wenn der Radius versehentlich als Durchmesser eingegeben wird. Der Druckunterschied (Pa) ist der Druckabfall von einem Ende des Rohrs zum anderen, also die Kraft, die tatsächlich Flüssigkeit durchdrückt. Die dynamische Viskosität (Pa·s) ist eine Eigenschaft der Flüssigkeit selbst – Wasser hat bei Raumtemperatur etwa 0,001 Pa·s, während Honig oder Blutplasma weitaus höher liegen. Die Rohrlänge (m) ist die geradlinige Distanz, die die Flüssigkeit zurücklegt. Von diesen vier dominiert der Radius: Seine Verdoppelung vervielfacht den Durchfluss um das 16-fache, während eine Verdoppelung des Drucks nur den Durchfluss verdoppelt.
Grenzen und Randfälle
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Das Gesetz von Poiseuille geht von einer stetigen, laminaren Strömung einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit durch ein starres, gerades, zylindrisches Rohr mit rutschfesten Wänden aus – es gilt nicht, sobald die Strömung turbulent wird (prüfen Sie es mit einem Reynolds-Zahlenrechner, wenn Sie unsicher sind), und es berücksichtigt keine Eintrittseffekte in der Nähe eines Rohreinlasses, Rohrkrümmungen oder elastische Gefäßwände. Das obige Beispiel für den Blutfluss ist lediglich eine Näherung aus dem Lehrbuch: Blut ist eine nicht-newtonsche, strukturviskose Flüssigkeit, und echte Blutgefäße sind elastisch und verzweigt, sodass für klinische Berechnungen des Blutflusses speziellere Modelle verwendet werden. Betrachten Sie diesen Rechner als idealisierte technische Schätzung und nicht als Ersatz für domänenspezifische Modellierung in biomedizinischen oder hochpräzisen industriellen Kontexten.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für das Gesetz von Poiseuille?+
Q = πr⁴ΔP/(8µL), wobei Q die volumetrische Durchflussrate (m³/s), r der Innenradius des Rohrs (m), ΔP die Druckdifferenz im Rohr (Pa), µ die dynamische Viskosität (Pa·s) und L die Rohrlänge (m) ist.
Warum ist der Radius so viel wichtiger als die anderen Variablen?+
Die Durchflussrate ist proportional zum Radius erhöht auf die 4. Potenz (r⁴), während sie nur proportional zur ersten Potenz der Druckdifferenz, der Viskosität und der Länge ist. Das bedeutet, dass die Halbierung des Radius die Durchflussrate um das 16-fache verringert, die Halbierung des Drucks jedoch nur die Durchflussrate um das Zweifache verringert.
Gilt das Poiseuillesche Gesetz nur für laminare Strömungen?+
Ja. Die Gleichung geht von einer stetigen, laminaren Strömung einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit durch ein starres, gerades zylindrisches Rohr aus. Sobald die Reynolds-Zahl in den turbulenten Bereich ansteigt, sagt das Gesetz von Poiseuille die Strömungsgeschwindigkeit nicht mehr genau voraus.
Kann dieser Rechner für den Blutfluss verwendet werden?+
Nur als grobe Annäherung. Echtes Blut ist eine nicht-Newtonsche, strukturviskose Flüssigkeit und Blutgefäße sind eher elastisch als starr. Daher erfasst das Gesetz von Poiseuille den allgemeinen Trend (der Radius dominiert), aber nicht die genaue physiologische Flussrate – die klinische Arbeit stützt sich auf speziellere hämodynamische Modelle.
Welche Einheiten verwendet der Rechner?+
Radius und Länge werden in Metern (m) angegeben, die Druckdifferenz in Pascal (Pa), die Viskosität in Pascalsekunden (Pa·s) und die resultierende Durchflussrate wird sowohl in Kubikmetern pro Sekunde (m³/s) als auch in Litern pro Minute (L/min) angezeigt.
Kann ich nach dem Radius statt nach der Durchflussrate auflösen?+
Ja – auf der Registerkarte „Lösen“ können Sie Radius, Druckdifferenz, Viskosität oder Länge als Unbekannte auswählen, eine Zieldurchflussrate und die anderen drei Werte eingeben und der Rechner ordnet die Gleichung neu (die Lösung nach dem Radius erfordert eine vierte Wurzel), um den fehlenden Wert zu finden.
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