Die Gleichung für dünne Linsen, 1/f = 1/do + 1/di, ist eine der am häufigsten wiederverwendeten Formeln in der Optik – sie beschreibt, wie eine einzelne Sammel- oder Zerstreuungslinse ein Bild erzeugt, und mit derselben kartesischen Vorzeichenkonvention beschreibt sie Spiegel genauso gut. In diesem Artikel geht es um die Gleichung, die Vorzeichenregeln, die sie universell machen, und wie man aus den Zahlen den resultierenden Bildtyp ablesen kann.
Warum eine Gleichung Linsen und Spiegel abdeckt
Die Gleichung für dünne Linsen 1/f = 1/do + 1/di ergibt sich aus der Verfolgung paraxialer Strahlen (Strahlen nahe und nahezu parallel zur optischen Achse) durch eine dünne Linse unter Verwendung ähnlicher Dreiecke. Das Bemerkenswerte daran ist, dass die exakt gleiche Beziehung – mit der gleichen kartesischen Vorzeichenkonvention „Realität ist positiv“ – auch sphärische Spiegel beschreibt, wenn man das reflektierte Bild eines Spiegels auf die gleiche Weise behandelt wie das gebrochene Bild einer Linse. Eine Sammellinse (bikonvex) spielt die gleiche mathematische Rolle wie ein konkaver Spiegel; Eine Zerstreuungslinse (bikonkav) spielt die gleiche Rolle wie ein konvexer Spiegel. Aus diesem Grund wird in Optiklehrbüchern die Spiegelgleichung als „die gleiche Formel, andere Hardware“ eingeführt, anstatt sie ein zweites Mal von Grund auf neu abzuleiten.
Lesen der Zeichenkonvention
Die hier verwendete Konvention – do immer positiv, f positiv für konvergierende Elemente und negativ für divergierende Elemente, di positiv für reale Bilder und negativ für virtuelle – wird so gewählt, dass eine einzige Formel und eine einzige Vergrößerungsgleichung (m = −di/do) in jeder Konfiguration ohne Sonderschreibweise funktionieren. Der Objektabstand ist immer positiv, da sich ein reales Objekt immer physisch vor der Linse oder dem Spiegel befindet. Die Brennweite f vertauscht das Vorzeichen zwischen konvergierenden (positiven) und divergierenden (negativen) Elementen, da der Brennpunkt eines divergierenden Elements virtuell ist – Strahlen passieren ihn nie wirklich, sie scheinen nur von ihm zu divergieren. Der Bildabstand di ist die Variable, die die meiste Arbeit leistet: Allein ihr Vorzeichen sagt Ihnen, ob das Bild real (positiv, die Lichtstrahlen treffen tatsächlich dort zusammen) oder virtuell (negativ, die Strahlen scheinen nur dort zu entstehen) ist. Machen Sie sich mit dieser einen Regel vertraut, und der Rest der geometrischen Optik – Teleskope, Mikroskope, Kameraobjektive, Brillen – ergibt sich aus der richtigen Anwendung.
Von den Zahlen zum Bild
Sobald Sie die unbekannte Entfernung ermittelt haben, sagt Ihnen die Vergrößerung m = −di/do alles darüber, wie das Bild aussieht, ohne dass ein Strahlendiagramm erforderlich ist. Das Vorzeichen von m gibt Orientierung: Negativ bedeutet invertiert (auf dem Kopf stehend relativ zum Objekt), positiv bedeutet aufrecht. Die Größe von m ergibt die relative Größe: |m| Größer als 1 bedeutet, dass das Bild größer als das Objekt ist, kleiner als 1 bedeutet kleiner und genau 1 bedeutet gleich groß. Kombinieren Sie dies mit dem Vorzeichen von di, und Sie erhalten alle vier praktisch unterschiedlichen Ergebnisse für eine Sammellinse, je nachdem, wo sich das Objekt befindet: Über 2f hinaus ergibt sich ein echtes, invertiertes, verkleinertes Bild (wie eine Kamera eine entfernte Szene auf einem kleinen Sensor erfasst); zwischen f und 2f ergibt ein echtes, invertiertes, vergrößertes Bild (wie ein Diaprojektor eine kleine Folie auf eine große Leinwand wirft); innen f ergibt ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild (wie eine Lupe oder ein Einlinsenokular funktioniert); und genau bei 2f ergibt sich ein echtes, invertiertes Bild gleicher Größe, eine nützliche Kalibrierungsreferenz.
Wo das Thin-Lens-Modell versagt
Diese Gleichung geht von einer idealisierten dünnen Linse oder einem idealisierten dünnen Spiegel aus: Null Dicke, perfekte sphärische (oder parabolische) Krümmung und Strahlen, die auf den paraxialen Bereich nahe der optischen Achse beschränkt sind. Echte optische Elemente weichen hiervon in einer Weise ab, die die einfache Formel nicht erfasst – sphärische Aberration (Strahlen, die weiter von der Achse entfernt sind, fokussieren sich auf leicht unterschiedliche Punkte), chromatische Aberration (verschiedene Wellenlängen des Lichts werden durch echtes Glas unterschiedlich stark gebrochen) und Koma oder Astigmatismus bei außeraxialen Objekten. Dicke Linsen und Verbundlinsensysteme (wie Kamera-Zoomobjektive oder Teleskopokulare) erfordern die Verfolgung von Hauptebenen und nicht einer einzelnen Linsenposition. Für eine erste Schätzung, wo ein Bild entsteht und wie groß es ungefähr sein wird, bleibt jedoch die Gleichung für dünne Linsen der Standardausgangspunkt, der in jedem Einführungskurs in die Optik gelehrt wird, und sie ist für ein idealisiertes einzelnes dünnes Element genau richtig.