Lösen Sie den Beugungswinkel, die Wellenlänge oder den interplanaren Abstand bei der Röntgenbeugung mithilfe des Braggschen Gesetzes (nλ = 2d·sinθ) auf.
Beugungseinstellungen
Ganzzahlige Reflexion erforderlich – normalerweise 1 für den stärksten Peak.
Abstand zwischen benachbarten Kristallgitterebenen.
Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Gitterebene (nicht der 2θ-Detektorwinkel).
Ergebnis
—
Geben Sie oben die Wellenlänge und den Netzebenenabstand ein, um den Beugungswinkel zu berechnen.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragennλ = 2d·sinθ
📋
Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie aus, was Sie lösen möchten
Wählen Sie eine der drei Registerkarten über dem Rechner – Beugungswinkel, Interplanarer Abstand oder Wellenlänge. Die von Ihnen ausgewählte Registerkarte verbirgt dieses Feld als Eingabe und berechnet es stattdessen. die anderen beiden Größen plus die Beugungsordnung (n) bleiben editierbar.
2
Geben Sie die bekannten Mengen ein
Geben Sie die Beugungsordnung (n, normalerweise 1 für den stärksten Peak) sowie die Wellenlänge (λ), den Netzebenenabstand (d) und den Beugungswinkel (θ) ein, die weiterhin als Eingaben angezeigt werden. Das Ergebnis wird während der Eingabe sofort aktualisiert.
3
Lesen Sie das Ergebnis
Die Ergebniskarte zeigt die gelöste Menge sowie eine Zusammenfassung der anderen verwendeten Werte. Die Interpretationszeile buchstabiert die vollständige Beziehung (nλ = 2d·sinθ) mit Ihren eingegebenen Zahlen, sodass Sie die Mathematik noch einmal von Hand überprüfen können.
⚡
Grundlagen
Formel und Methodik
1 Formel▸
Braggs Gesetz
nλ = 2d·sinθ
n ist die Beugungsordnung (eine positive ganze Zahl), λ ist die Wellenlänge der einfallenden Strahlung (nm), d ist der Abstand zwischen benachbarten Kristallgitterebenen (nm) und θ ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Gitterebene (Grad) – nicht der 2θ-Winkel, der von einem XRD-Detektor abgelesen wird. Für jede Variable gelöst: θ = asin(nλ / 2d), λ = 2d·sinθ / n und d = nλ / (2·sinθ).
📖
Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Die Bedingung nλ = 2d·sinθ, unter der Röntgenstrahlen (oder andere kurzwellige Wellen), die an parallelen Ebenen von Atomen in einem Kristall gestreut werden, konstruktiv interferieren und einen erkennbaren Beugungspeak erzeugen. 1913 unabhängig voneinander von William Henry Bragg und William Lawrence Bragg abgeleitet.
Eine Analysetechnik, die Röntgenstrahlen auf eine kristalline Probe feuert und die Winkel und Intensitäten der gebeugten Strahlen misst, um die Atomstruktur, Phasenzusammensetzung und Kristallitgröße der Probe zu bestimmen.
Der senkrechte Abstand zwischen benachbarten, parallelen Ebenen von Atomen in einem Kristallgitter, indiziert durch Miller-Indizes (hkl). Typische Werte für gewöhnliche Kristalle liegen zwischen etwa 0,1 und 1 nm.
Eine positive ganze Zahl (1, 2, 3, ...), die angibt, wie viele ganze Wellenlängen des Gangunterschieds Wellen trennen, die an aufeinanderfolgenden Gitterebenen reflektiert werden. Reflexionen erster Ordnung (n = 1) sind die stärksten und werden am häufigsten verwendet.
Die wissenschaftliche Untersuchung der Anordnung von Atomen in kristallinen Festkörpern wird größtenteils durch Röntgenbeugungstechniken ermöglicht, die auf dem Braggschen Gesetz basieren.
Die Verstärkung von Wellen, die miteinander in Phase sind, erzeugt eine Welle mit größerer Amplitude. Das Braggsche Gesetz identifiziert genau die Winkel, bei denen reflektierte Röntgenwellen in Phase bleiben und konstruktiv interferieren.
Ein mit einem Röntgendiffraktometer erstelltes Diagramm der Intensität gebeugter Röntgenstrahlen im Vergleich zum Streuwinkel (typischerweise 2θ). Jeder Peak im Muster entspricht einer Reihe von Gitterebenen, die das Braggsche Gesetz erfüllen.
Wenn Cu-Kα-Strahlung (λ ≈ 0,154 nm) an Ebenen mit einem Abstand von 0,314 nm erster Ordnung gebeugt wird, ergibt das Braggsche Gesetz sinθ = nλ/2d = 0,154/0,628 ≈ 0,245, also θ ≈ 14,19°. Ein Detektor, der 2θ aufzeichnet, würde einen Peak nahe 28,4° zeigen – eine Verringerung des d-Abstands würde diesen Peak in einen größeren Winkel verschieben.
Wenn ein XRD-Scan einen Peak erster Ordnung bei θ = 14,19° unter Verwendung derselben Cu-Kα-Quelle zeigt, ergibt die Lösung von d = nλ/(2·sinθ) d ≈ 0,314 nm – was mit der obigen Vorwärtsberechnung übereinstimmt und den gleichen Kristallebenenabstand bestätigt.
Die Verdoppelung der Ordnung auf n = 2 mit demselben λ und d ergibt sinθ = 2(0,154)/0,628 ≈ 0,490, also θ ≈ 29,4° – ein deutlich größerer Winkel für die Spiegelung zweiter Ordnung derselben Gitterebenen. Wenn n hoch genug erhöht wird (so dass nλ 2d überschreitet), überschreitet sinθ 1, was der Rechner als keine Beugung in dieser Ordnung markiert.
🔗
Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
Verwenden Sie eines dieser Formate, um diesen Rechner in einer Arbeit, einem Bericht oder einer Literaturliste zu zitieren.
APA
MLA
📄
Hintergrundwissen
Das Braggsche Gesetz und die Röntgenbeugung verstehen
Das Braggsche Gesetz (nλ = 2d·sinθ) ist die Grundgleichung der Röntgenkristallographie und erklärt genau, welche Winkel einen erkennbaren Beugungspeak erzeugen, wenn Röntgenstrahlen an den Atomebenen eines Kristalls gestreut werden. Dieser Rechner löst die Gleichung für jede ihrer drei Variablen – Winkel, Wellenlänge oder Abstand – unter Berücksichtigung der anderen beiden plus der Beugungsordnung.
Wie das Braggsche Gesetz funktioniert
▸
Wenn Röntgenstrahlen auf einen Kristall treffen, werden sie an aufeinanderfolgenden parallelen Atomebenen gestreut. Die meisten Streuwellen löschen sich durch destruktive Interferenz aus, aber bei bestimmten Winkeln entspricht der Weglängenunterschied zwischen Wellen, die von benachbarten Ebenen reflektiert werden, einer ganzen Zahl von Wellenlängen – diese Wellen bleiben in Phase und verstärken sich gegenseitig, wodurch ein messbarer Beugungspeak entsteht. William Lawrence Bragg und sein Vater William Henry Bragg formalisierten diese Bedingung 1913 als nλ = 2d·sinθ, wobei der Gangunterschied 2d·sinθ (doppelter Abstand mal Sinus des Einfallswinkels) einem ganzzahligen Vielfachen n der Wellenlänge λ entsprechen muss.
Eingaben und was sie bedeuten
▸
Die Wellenlänge (λ) ist die charakteristische Emissionslinie der Röntgenquelle – Cu-Kα-Strahlung bei ≈0,154 nm (1,54 Å) ist die häufigste Laborquelle, obwohl auch Mo-Kα-Strahlung (≈0,071 nm) und Synchrotronquellen verwendet werden. Der interplanare Abstand (d) hängt von den Abmessungen der Elementarzelle des Kristalls und dem spezifischen Satz von Gitterebenen (Miller-Indizes) ab, die untersucht werden. Sie liegt meist in der gleichen Größenordnung wie die Wellenlänge, was die Röntgenbeugung überhaupt erst möglich macht. Die Beugungsordnung (n) ist in der Praxis fast immer 1, da Reflexionen höherer Ordnung von denselben Ebenen typischerweise viel schwächer sind und oft nicht von der Reflexion erster Ordnung einer anderen Ebene zu unterscheiden sind. Der Beugungswinkel (θ) ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Gitterebene. Beachten Sie, dass die meisten Instrumente 2θ (den Winkel zwischen dem einfallenden und dem gebeugten Strahl) anzeigen. Halbieren Sie daher einen gemeldeten 2θ-Wert, bevor Sie ihn hier eingeben.
Grenzen und Randfälle
▸
Das Braggsche Gesetz hat keine Lösung, wenn nλ/2d 1 überschreitet, da der Sinus 1 nicht überschreiten kann – physikalisch bedeutet dies, dass die Reflexion der gewählten Ordnung für diese Wellenlänge und diesen Abstand unmöglich ist (die Röntgenwellenlänge ist zu lang oder die Ordnung zu hoch für den gegebenen Gitterabstand). Der Rechner markiert diesen Fall explizit, anstatt einen ungültigen Winkel zurückzugeben. Das Braggsche Gesetz behandelt den Kristall auch als einen einfachen Stapel reflektierender Ebenen; Es sagt nicht allein die Peakintensität voraus (die vom Kristallstrukturfaktor abhängt) und berücksichtigt auch keine Effekte wie thermische Vibration, Kristallitgrößenverbreiterung oder Mehrfachstreuung – diese erfordern die umfassendere kinematische oder dynamische Theorie der Beugung, die in Kristallographietexten behandelt wird.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Was berechnet der Bragg-Gesetz-Rechner eigentlich?+
Es löst nλ = 2d·sinθ für die von Ihnen gewählte Größe – den Beugungswinkel θ, den Netzebenenabstand d oder die Wellenlänge λ – unter Berücksichtigung der beiden anderen Variablen plus der Beugungsordnung n. Dies ist die Kerngleichung zur Interpretation von Röntgenbeugungsmustern (XRD) in der Kristallographie und den Materialwissenschaften.
Was ist der Unterschied zwischen θ und 2θ?+
θ ist der Winkel zwischen dem einfallenden Röntgenstrahl und der Kristallgitterebene, den das Braggsche Gesetz direkt nutzt. Die meisten Diffraktometer geben 2θ an – den vom Detektor gemessenen Winkel zwischen dem einfallenden und dem gebeugten Strahl. Wenn Ihr Instrument einen 2θ-Wert liefert, teilen Sie ihn durch 2, bevor Sie ihn hier als Beugungswinkel eingeben.
Warum sagt der Rechner manchmal, dass Beugung nicht möglich ist?+
Da sinθ niemals 1 überschreiten kann, hat das Braggsche Gesetz keine gültige Lösung, wenn n·λ größer als 2d ist. Dies geschieht, wenn die Wellenlänge für den gegebenen Gitterabstand zu lang oder die gewählte Beugungsordnung zu hoch ist. Versuchen Sie es mit einer niedrigeren Ordnung (oft n = 1) oder prüfen Sie, ob Ihre Wellenlänge und Abstandseinheiten übereinstimmen (hier Nanometer für beide).
Welche Einheiten erwartet der Bragg'sche Gesetzesrechner?+
Wellenlänge (λ) und interplanarer Abstand (d) werden beide in Nanometern (nm) eingegeben – 1 nm = 10 Angström, sodass ein üblicher Wert wie 1,54 Å (Cu Kα) 0,154 nm ergibt. Der Beugungswinkel (θ) wird in Grad angegeben. Die Beugungsordnung (n) ist eine einheitslose positive ganze Zahl, typischerweise 1.
Kann ich meine Ergebnisse teilen?+
Ja. Der Rechner kodiert Ihre aktuellen Eingaben und Ihren Lösungsmodus während der Eingabe in die URL der Seite. Daher reicht es aus, die URL der Adressleiste zu kopieren (oder auf die Schaltfläche „Teilen“ zu klicken), um einem Kollegen genau das gleiche Szenario zu senden.
Woher kommt die Formel des Braggschen Gesetzes?+
William Henry Bragg und William Lawrence Bragg leiteten 1913 nλ = 2d·sinθ ab, um die Röntgenbeugung an Kristallen zu erklären, eine Arbeit, für die sie 1915 gemeinsam den Nobelpreis für Physik erhielten. Sie bleibt die Standardgleichung, die in Kristallographie- und Materialwissenschaftskursen gelehrt wird und heute zur Interpretation der Ergebnisse von XRD-Instrumenten verwendet wird.
📄
Speichern und teilen
Erhalten Sie ein PDF im Calculover-Design mit Ihren Ergebnissen
Laden Sie sofort ein einseitiges PDF mit Ihren Ergebnissen herunter. Wenn Sie Ihre E-Mail-Adresse angeben, erhalten Sie gelegentlich Tipps zu unseren Rechnern — kein Spam. Sie können sich jederzeit abmelden. Datenschutz.