Bohr-Modellrechner

Im Bohr-Modell kann ein an einen Kern gebundenes Elektron nur auf bestimmten, diskreten Energieniveaus existieren, die durch die Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, … indiziert sind. Die Energie jedes Niveaus, Eₙ = −13,6·Z²/n² eV, ist negativ, weil das Elektron gebunden ist – es erfordert eine positive Energiezufuhr, um es vom Kern wegzuziehen. Mit zunehmendem n steigt Eₙ gegen Null und bei n = ∞ ist das Elektron vollständig frei (ionisiert). Die Größe von Eₙ auf jeder Ebene ist daher auch die Ionisierungsenergie dieser Ebene: die Energie, die benötigt wird, um das Elektron vollständig von diesem Ausgangspunkt zu entfernen.

Der Bahnradius rₙ = 0,529·n²/Z Å wächst mit dem Quadrat von n, was bedeutet, dass Bahnen mit höherer Energie dramatisch größer sind – die Bahn mit n=2 ist viermal so groß wie der Radius von n=1. Eine größere Kernladung Z zieht das Elektron in eine engere Umlaufbahn und schrumpft rₙ proportional. Die Umlaufgeschwindigkeit vₙ = 2,188×10⁶·Z/n m/s ergibt sich aus dem Ausgleich der Coulomb-Anziehung zum Kern gegenüber der Zentripetalkraft, die erforderlich ist, um das Elektron auf einer kreisförmigen Bahn zu halten – sie skaliert mit Z nach oben (eine stärkere Anziehung erfordert mehr Geschwindigkeit, um die Umlaufbahn aufrechtzuerhalten) und nach unten mit n (höhere, weiter entfernte Umlaufbahnen bewegen sich langsamer).

Auf der Registerkarte „Übergang“ wird die Energie berechnet, die ausgetauscht wird, wenn sich ein Elektron von einem Anfangsniveau n1 zu einem Endniveau n2 bewegt. Wenn n2 höher als n1 ist, hat das Elektron Energie gewonnen – es hat ein Photon absorbiert, um den Sprung zu machen. Wenn n2 niedriger als n1 ist, hat das Elektron Energie freigesetzt – es hat ein Photon emittiert, das in einen fester gebundenen Zustand fällt. Der Rechner gibt immer die Größe dieser Energiedifferenz zusammen mit einer klaren Absorptions-/Emissionsmarkierung sowie der entsprechenden Photonenwellenlänge unter Verwendung von λ(nm) = 1240/ΔE(eV) an.

Das Bohr-Modell ist nur für wasserstoffähnliche Systeme exakt – ein einzelnes Elektron, das einen Kern der Ladung Z umkreist, wie zum Beispiel Wasserstoff selbst, He⁺ oder Li²⁺. Es ignoriert den Elektronenspin, relativistische Korrekturen und die Elektron-Elektron-Abstoßung (Abschirmung), die in jedem Atom mit mehr als einem Elektron vorhanden ist, und kann daher nicht direkt auf neutrales Helium oder schwerere Elemente angewendet werden. Die moderne Quantenmechanik – die Schrödinger-Gleichung und ihre relativistische Erweiterung, die Dirac-Gleichung – ist erforderlich, um Mehrelektronenatome genau zu modellieren, obwohl die Energieniveauformel des Bohr-Modells nach wie vor eine bemerkenswert gute erste Näherung für Einelektronensysteme darstellt.