Ermitteln Sie mithilfe des polaren Trägheitsmoments die Torsionsschubspannung und den Verdrehungswinkel einer massiven oder hohlen kreisförmigen Welle unter einem ausgeübten Drehmoment.
Welle
Durchmesser der massiven Rundwelle in Millimetern.
Außendurchmesser des Rohrs in Millimetern.
Innendurchmesser (Bohrung) des Rohrs in Millimetern. Muss kleiner sein als der Außendurchmesser.
Angewandtes Drehmoment in Newtonmetern.
Wellenlänge, während der das Drehmoment ausgeübt wird, in Metern.
Schersteifigkeitsmodul des Materials in Gigapascal. Stahl hat etwa 79–81 GPa, Aluminium etwa 26 GPa.
Ergebnis
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Geben Sie zur Berechnung oben die Wellenabmessungen, das Drehmoment, die Länge und den Schubmodul ein.
4 Min. Lesezeit4 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenτ = Tr / J
Torsion tritt überall dort auf, wo eine Welle, eine Achse oder ein Torsionsstab Drehkräfte überträgt – Antriebswellen, Motorwellen, Schraubverbindungen unter Anzugsdrehmoment und Torsionsfedern.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
4 Schritte▸
1
Wählen Sie eine Voll- oder Hohlwelle
Wählen Sie „Voll“ oder „Hohl“ (Rohr) aus der Dropdown-Liste „Wellentyp“. Eine Vollwelle benötigt einen einzigen Durchmesser; Eine Hohlwelle benötigt sowohl einen Außen- als auch einen Innendurchmesser, da die Torsion nur den tatsächlich vorhandenen kreisförmigen Materialquerschnitt belastet.
2
Geben Sie die Wellenabmessungen in Millimetern ein
Geben Sie den Durchmesser (bzw. Außen- und Innendurchmesser bei einem Rohr) in Millimetern ein. Daraus berechnet der Rechner das polare Trägheitsmoment (J) für den Querschnitt.
3
Geben Sie Drehmoment, Länge und Schubmodul ein
Geben Sie das aufgebrachte Drehmoment in Newtonmetern, die Schaftlänge in Metern und den Schermodul des Materials in Gigapascal ein (Stahl hat etwa 79–81 GPa, Aluminium etwa 26 GPa). Der Rechner wird sofort aktualisiert.
4
Lesen Sie das Ergebnis – wechseln Sie die Registerkarten, um den Überschriftenwert zu ändern
Die Ergebniskarte zeigt immer alle drei Größen. Verwenden Sie die Registerkarte „Scherspannung“, „Verdrehwinkel“ oder „Polarmoment“, um auszuwählen, welche in die große Schlagzeilenzahl hochgestuft wird. die anderen beiden bleiben in der Detailzeile darunter sichtbar.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Torsionsschubspannung
τ = Tr / J
Die Scherspannung τ an der Außenfläche einer kreisförmigen Welle unter dem Drehmoment T ist gleich T mal dem Außenradius r geteilt durch das polare Trägheitsmoment J. Sie ist an der Außenfläche maximal und in der Mitte der Welle Null.
Drehwinkel
θ = TL / (GJ)
Der Verdrehwinkel θ (im Bogenmaß) über einer Welle der Länge L entspricht dem Drehmoment T mal L, dividiert durch das Produkt aus dem Schermodul G des Materials und dem polaren Trägheitsmoment J. Der Rechner rechnet θ zur besseren Lesbarkeit auch in Grad um.
Polares Trägheitsmoment (Kreisabschnitt)
J = πd⁴/32 (solid); J = π(D⁴−d⁴)/32 (hollow)
J misst, wie die Fläche eines kreisförmigen Querschnitts um seinen Mittelpunkt verteilt ist. Für eine Vollwelle mit dem Durchmesser d gilt J = πd⁴/32. Subtrahieren Sie für eine Hohlwelle (Rohr) mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d den Beitrag des Innenkreises: J = π(D⁴−d⁴)/32.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Die Verdrehung eines Objekts durch ein ausgeübtes Drehmoment um seine Längsachse. Durch Torsion entsteht eine Scherspannung, die von Null in der Mitte einer kreisförmigen Welle bis zu einem Maximum an ihrer Außenfläche variiert.
Die Winkeldrehung (θ) eines Endes einer Welle relativ zum anderen, die durch ein über die Länge der Welle ausgeübtes Drehmoment erzeugt wird. Wird in der zugrunde liegenden Formel im Bogenmaß gemessen und üblicherweise in Grad angegeben.
Eine geometrische Eigenschaft eines Querschnitts, die seinen Widerstand gegen Torsion misst, analog dazu, wie das gewöhnliche Trägheitsmoment den Widerstand gegen Biegung misst. Ein größeres J bedeutet weniger Scherspannung und weniger Verdrehung bei gleichem aufgebrachten Drehmoment.
Die durch ein ausgeübtes Drehmoment innerhalb einer Welle erzeugte Scherspannung, bezeichnet mit τ. Sie ist an der Außenfläche der Welle maximal (τ = Tr/J) und nimmt an der Mittelachse linear auf Null ab.
Ein rotierendes oder verdrehtes Strukturelement mit typischerweise kreisförmigem Querschnitt, das Drehmoment überträgt – beispielsweise eine Antriebswelle, eine Achse oder ein Torsionsstab.
Auch Steifigkeitsmodul genannt, eine Materialeigenschaft, die Scherspannung mit Scherdehnung in Beziehung setzt, analog zum Elastizitätsmodul für normale Spannung und Dehnung. Steifere Materialien (höheres G) verdrehen sich bei gleichem Drehmoment weniger.
Eine Rotationskraft, gleich einer Kraft, die im Abstand von einer Drehachse ausgeübt wird (Kraft × Hebelarm). Gemessen in Newtonmetern (N·m); Drehmoment ist die Belastung, die eine Torsion in einer Welle verursacht.
J = π(50)⁴/32 ≈ 613.592 mm⁴. τ = Tr/J = (500.000 N·mm × 25 mm) / 613.592 mm⁴ ≈ 20,37 MPa – deutlich unter dem etwa 150–200 MPa-Schergrenzebereich üblicher Baustähle, sodass diese Welle bei dieser Belastung einen komfortablen Spielraum hat.
J = π(40)⁴/32 ≈ 251.327 mm⁴. θ = TL/GJ ≈ 0,0227 rad ≈ 1,30° Drehung über die 1,5 m Länge. Durch die Reduzierung des Durchmessers von 50 mm auf 40 mm schrumpft J um den Faktor (40/50)⁴ ≈ 0,41, weshalb ein geringfügiger Durchmesserabfall eine viel größere Verdrehung bei ähnlichem Drehmoment und ähnlicher Länge erzeugt.
J = π(50⁴−40⁴)/32 ≈ 362.265 mm⁴ – etwa 59 % des J der massiven 50-mm-Welle. Für das gleiche Drehmoment von 500 N·m gilt τ ≈ 34,50 MPa und θ ≈ 1,00° – etwa das 1,7-fache der Spannung und Verdrehung der massiven Welle in Beispiel 1, aber mit weit weniger als dem 1,7-fachen des Materials. Dies ist der klassische Torsionskompromiss: Durch das Aushöhlen einer Welle wird das am wenigsten wirksame Material entfernt (in der Nähe der Mitte, das der Torsion kaum standhält). Daher ist eine Hohlwelle normalerweise die bessere Wahl, wenn es auf das Gewicht ankommt und die höhere Belastung und Verdrehung in Grenzen bleiben.
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Quellenangabe
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Hintergrundwissen
Torsion, Torsionsschubspannung und Verdrehungswinkel verstehen
Torsion tritt überall dort auf, wo eine Welle, eine Achse oder ein Torsionsstab Drehkräfte überträgt – Antriebswellen, Motorwellen, Schraubverbindungen unter Anzugsdrehmoment und Torsionsfedern. Dieser Rechner ermittelt die beiden Zahlen, die Ingenieure zuerst prüfen: die Torsionsscherspannung an der Wellenoberfläche und wie weit sich die Welle unter Last verdreht.
So funktioniert der Torsionsrechner
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Der Rechner berechnet zunächst das polare Trägheitsmoment J für den gewählten kreisförmigen Querschnitt – J = πd⁴/32 für eine Vollwelle oder J = π(D⁴−d⁴)/32 für ein Hohlrohr, wodurch das Trägheitsmoment des fehlenden Innenkreises vom Trägheitsmoment des Außenkreises subtrahiert wird. Aus J werden die Torsionsschubspannung τ = Tr/J an der Außenfläche (r ist der Außenradius, an dem die Spannung am höchsten ist) und der Verdrehungswinkel θ = TL/(GJ) über die eingegebene Schaftlänge abgeleitet. Beide Formeln gehen davon aus, dass die Welle unter reiner Torsion ein gerader, gleichmäßiger kreisförmiger Abschnitt ist – die standardmäßige elastische Torsionstheorie, die für runde Wellen, Achsen und Torsionsstäbe verwendet wird.
Eingaben und was sie bedeuten
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Durchmesser werden in Millimetern, Drehmoment in Newtonmetern, Schaftlänge in Metern und Schermodul in Gigapascal eingegeben – der Rechner rechnet intern um, sodass die Scherspannung in Megapascal (MPa) und der Verdrehungswinkel sowohl im Bogenmaß als auch in Grad ausgegeben wird. Der Durchmesser hat den größten Einfluss auf beide Ergebnisse, da er das polare Trägheitsmoment in der vierten Potenz berücksichtigt: Die Halbierung des Durchmessers vervielfacht sowohl die Spannung als auch die Verdrehung etwa um das Sechzehnfache bei gleichem Drehmoment. Der Schermodul spiegelt das Material wider – Stahl (ca. 79–81 GPa) verdreht sich bei gleicher Belastung weitaus weniger als Aluminium (ca. 26 GPa) oder Kunststoffe, weshalb die Materialwahl für steifigkeitskritische Wellen genauso wichtig ist wie die Geometrie.
Grenzen und Randfälle
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Dieser Rechner deckt die reine Torsion einer geraden, gleichmäßigen kreisförmigen Welle (Voll- oder Hohlwelle) im elastischen Bereich ab. Er berücksichtigt nicht die kombinierte Biege- und Torsionsbelastung, Spannungskonzentrationen an Keilnuten, Schultern oder Löchern, nicht kreisförmige Querschnitte (die eine andere, formabhängige Torsionskonstante erfordern) oder das Knicken dünnwandiger Rohre unter Torsion. Halten Sie bei einer Hohlwelle die Wand im Verhältnis zum Durchmesser angemessen dick; Sehr dünnwandige Rohre können sich lokal verbiegen, bevor sie die von dieser Formel vorhergesagte Scherspannung erreichen. Vergleichen Sie immer die berechnete Scherspannung mit der Scherstreckgrenze des Materials (ungefähr das 0,5- bis 0,6-fache der Zugstreckgrenze für duktile Metalle) mit einem geeigneten Sicherheitsfaktor und lassen Sie alle tragenden Wellenkonstruktionen von einem qualifizierten Ingenieur überprüfen.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für die Torsionsschubspannung?+
Die Torsionsschubspannung beträgt τ = Tr/J, wobei T das aufgebrachte Drehmoment, r der Außenradius der Welle und J das polare Trägheitsmoment des Querschnitts ist. Die Spannung ist an der Außenfläche (r) maximal und in der Mitte Null.
Wie lautet die Formel für den Verdrehwinkel?+
Der Verdrehungswinkel beträgt θ = TL/(GJ) im Bogenmaß, wobei T das Drehmoment, L die Schaftlänge, G der Schermodul des Materials und J das polare Trägheitsmoment ist. Der Rechner rechnet θ auch in Grad um.
Wie berechnet man das polare Trägheitsmoment?+
Für eine massive kreisförmige Welle mit dem Durchmesser d gilt J = πd⁴/32. Für eine Hohlwelle (Rohr) mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d gilt J = π(D⁴−d⁴)/32 – das Trägheitsmoment des äußeren Kreises abzüglich des inneren (fehlenden) Kreises.
Wie unterscheidet sich eine Hohlwelle von einer Vollwelle?+
Eine Hohlwelle hat ein kleineres polares Trägheitsmoment als eine Vollwelle mit demselben Außendurchmesser, sodass sie bei gleichem Drehmoment mehr Spannung und Verdrehung erzeugt – aber auch viel weniger Material verbraucht. Da Material in der Nähe der Wellenmitte kaum zur Torsionsfestigkeit beiträgt, sind Hohlwellen in der Regel die materialeffizientere Wahl, wenn eine gewisse Erhöhung der Spannung und Verdrehung akzeptabel ist.
Welche Einheiten verwendet dieser Rechner?+
Durchmesser werden in Millimetern, Drehmoment in Newtonmetern (N·m), Schaftlänge in Metern und Schermodul in Gigapascal (GPa) eingegeben. Die Ergebnisse werden in Megapascal (MPa) für die Scherspannung, Grad (und Bogenmaß) für den Verdrehungswinkel und mm⁴ für das polare Trägheitsmoment angezeigt.
Was macht einen Schaft steifer gegen Verdrehen?+
Die Steifheit gegen Verdrehung ergibt sich aus einem größeren polaren Trägheitsmoment J (ein größerer Durchmesser hat bei weitem den größten Effekt, da J mit dem Durchmesser bis zur vierten Potenz skaliert) und einem höheren Schermodul G (ein steiferes Material). Eine kürzere Welle verdreht sich bei gleichem Drehmoment auch weniger, da der Verdrehungswinkel direkt proportional zur Länge ist.
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