Berechnen Sie die thermische Spannung, die sich in einem vollständig eingeschränkten Material aufbaut, anhand seines Elastizitätsmoduls, seines thermischen Ausdehnungskoeffizienten und seiner Temperaturänderung. Lösen Sie nach der Temperaturänderung, die eine bestimmte Spannung erzeugt, oder nach der Rückhaltekraft auf einen bestimmten Querschnitt.
Thermische Spannung – σ = E·α·ΔT
Steifigkeit des Materials, in Gigapascal (Stahl ≈ 200 GPa).
Längenausdehnungskoeffizient pro Grad Celsius (Stahl ≈ 12×10⁻⁶/°C).
Positiv für Heizen, negativ für Kühlen.
Auflösen nach Temperaturänderung – ΔT = σ / (E·α)
Steifigkeit des Materials, in Gigapascal.
Längenausdehnungskoeffizient pro Grad Celsius.
Spannungsgröße, die Sie erreichen oder unter der Sie bleiben möchten, in Megapascal.
Rückhaltekraft – F = σ·A
Steifigkeit des Materials, in Gigapascal.
Längenausdehnungskoeffizient pro Grad Celsius.
Positiv für Heizen, negativ für Kühlen.
Querschnittsfläche, während der das eingespannte Element wirkt, in Quadratmillimetern.
Ergebnis
—
Geben Sie zur Berechnung oben die Werte ein.
4 Min. Lesezeit3 Schritte6 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenσ = E·α·ΔT
Unter thermischer Spannung versteht man die innere Spannung, die ein Material entwickelt, wenn eine Temperaturänderung gegen etwas ankämpft, das seine Bewegung nicht zulässt.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie eine Registerkarte für das, was Sie lösen möchten
Verwenden Sie die Registerkarte „Thermische Spannung“, wenn Sie den Modul, den Ausdehnungskoeffizienten und die Temperaturänderung kennen und die resultierende Spannung wissen möchten. Verwenden Sie die Registerkarte „Lösen“, wenn Sie den Modul, den Ausdehnungskoeffizienten und eine Zielspannung kennen und die Temperaturänderung wünschen, die diese erzeugt. Verwenden Sie die Registerkarte „Kraft“, wenn Sie auch die Querschnittsfläche kennen und die Rückhaltekraft auf die Stützen festlegen möchten.
2
Geben Sie Ihre bekannten Werte ein
Der Elastizitätsmodul (E) wird in Gigapascal (GPa) angegeben, der Wärmeausdehnungskoeffizient (α) ist ein Wert pro Grad Celsius (z. B. 0,000012 für Stahl) und die Temperaturänderung (ΔT) wird in Grad Celsius angegeben – positiv für Erwärmung, negativ für Abkühlung. Auf der Registerkarte „Kraft“ wird die Querschnittsfläche in Quadratmillimetern (mm²) angegeben.
3
Lesen Sie den Stress und sein Zeichen
Die Ergebniskarte zeigt die Stärke der Spannung in Megapascal (MPa) sowie an, ob es sich um eine Druckspannung (durch Erwärmung) oder eine Zugspannung (durch Abkühlung) handelt. Die folgende Interpretationszeile erklärt, was das für das zurückgehaltene Mitglied bedeutet.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Wärmespannung in einem vollständig eingespannten Bauteil
σ = E·α·ΔT
σ (Sigma) ist die thermische Spannung in Pascal, E ist der Elastizitätsmodul in Pascal, α (Alpha) ist der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient des Materials pro Grad und ΔT ist die Temperaturänderung in Grad. Diese Formel gilt nur, wenn das Mitglied vollständig zurückgehalten wird und sich überhaupt nicht ausdehnt oder zusammenzieht. Beispiel: E = 200 GPa (Stahl), α = 12×10⁻⁶/°C, ΔT = 30°C → σ = 200.000 MPa × 0,000012 × 30 = 72 MPa.
Lösung für Temperaturänderungen
ΔT = σ / (E·α)
Durch Umstellen der thermischen Spannungsformel können Sie die Temperaturschwankung ermitteln, die eine bestimmte Spannung erzeugen würde. Dies ist nützlich, um zu überprüfen, wie viel Erwärmung oder Abkühlung ein eingespanntes Element tolerieren kann, bevor eine maximal zulässige Spannung erreicht wird.
Rückhaltekraft
F = σ·A
Sobald Sie die thermische Belastung kennen, erhalten Sie durch Multiplikation mit der Querschnittsfläche (A) die Gesamtkraft, die das eingespannte Element auf alles ausübt, was es an Ort und Stelle hält – die Zahl, die ein Ingenieur zur Dimensionierung von Ankern, Schweißnähten oder Dehnungsfugen benötigt.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
6 Begriffe▸
Die innere Spannung, die in einem Material entsteht, wenn es bei Temperaturänderungen daran gehindert wird, sich frei auszudehnen oder zusammenzuziehen. Im Gegensatz zu gewöhnlicher mechanischer Belastung durch eine aufgebrachte Last entsteht thermische Belastung ausschließlich durch eine begrenzte Temperaturänderung: σ = E·α·ΔT.
Eine Materialeigenschaft (α, Alpha), die beschreibt, wie stark sich die Länge eines Materials pro Grad Temperaturänderung und pro Längeneinheit ändert. Gemessen in 1/°C oder 1/°F. Stahl hat eine Temperatur von etwa 12×10⁻⁶/°C; Aluminium ist mit etwa 23×10⁻⁶/°C etwa doppelt so hoch.
Beschreibt ein Element, das physisch daran gehindert wird, seine Länge zu ändern – sei es an beiden Enden befestigt, in einer starren Struktur eingebettet oder aus anderen Gründen nicht in der Lage, sich frei auszudehnen oder zusammenzuziehen. Wärmespannung entsteht nur in einem zumindest teilweise beanspruchten Bauteil; Ein freistehender Stab, der sich ungehindert ausdehnen kann, entwickelt keine thermische Spannung.
Ein Maß für die Steifigkeit eines Materials, definiert als das Verhältnis von Spannung zu Dehnung im elastischen Bereich (E = σ/ε). Stahl hat etwa 200 GPa. Ein steiferes Material (höheres E) entwickelt bei gleicher Temperaturänderung und gleichem Ausdehnungskoeffizienten mehr thermische Spannung.
Der Unterschied zwischen der aktuellen Temperatur eines Materials und der Temperatur, bei der es installiert wurde oder zuletzt spannungsfrei war, in Grad. Ein positives ΔT (Erwärmung) treibt die Kompression in einem eingespannten Element voran; Ein negatives ΔT (Abkühlung) treibt die Spannung.
Ein plötzlicher, großflächiger Biege- oder Durchbiegungsfehler, der auftritt, wenn die thermische Druckspannung in einem eingespannten Bauteil – wie z. B. einem durchgehend geschweißten Schienenstück an einem heißen Tag – den Widerstand übersteigt, dem das Bauteil standhalten kann, während es gerade bleibt. Dehnungsfugen und Vorspannungen sind gängige Möglichkeiten, dies zu verhindern.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Durchgehend geschweißte Schiene
Thermischer Stress durch einen sommerlichen Hitzeschub
σ = E·α·ΔT = 200.000 MPa × 0,000012 × 30 = 72 MPa Druckspannung. Die Schiene wird bei einer eingestellten „neutralen“ Temperatur verlegt und verankert; Ein Temperaturanstieg von 30 °C über diesen Wert an einem heißen Tag führt zu einer inneren Kompression, da es sich nicht ausdehnen kann – dies ist der Mechanismus hinter der Knickung der Schiene („Sonnenknick“) auf unbeschatteten Gleisen.
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Überprüfung einer Belastungsgrenze
Auflösen nach der maximal zulässigen Temperaturschwankung
Auf der Registerkarte „Solve“ ist ΔT = σ / (E·α) = 150 MPa / (200.000 MPa × 0,000012) = 62,5 °C. Wenn die vom Konstrukteur zulässige Spannung 150 MPa beträgt, kann das eingespannte Element eine Abweichung von seiner spannungsfreien Installationstemperatur um bis zu 62,5 °C tolerieren, bevor dieser Grenzwert erreicht wird.
Auf der Registerkarte „Kraft“ ist σ = 72 MPa (aus den gleichen Eingaben wie im ersten Beispiel) und F = σ·A = 72 MPa × 500 mm² = 36.000 N. Ein Ingenieur, der die Anker oder Schweißnähte dimensioniert, die dieses Element an Ort und Stelle halten, muss mindestens diese Rückhaltekraft berücksichtigen.
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Quellenangabe
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APA und MLA▸
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Unter thermischer Spannung versteht man die innere Spannung, die ein Material entwickelt, wenn eine Temperaturänderung gegen etwas ankämpft, das seine Bewegung nicht zulässt. Dies ist eine routinemäßige Überlegung bei der Konstruktion von Schienen, Pipelines, Brücken und Gebäuden – überall dort, wo eine lange Materialbahn an Ort und Stelle befestigt wird und während ihrer Lebensdauer einem echten Temperaturwechsel ausgesetzt ist.
Warum Zurückhaltung wichtiger ist als die Temperatur allein
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Ein Material, das sich völlig frei mit der Temperatur ausdehnen oder zusammenziehen kann – beispielsweise ein loser Stab, der auf einer reibungsfreien Oberfläche liegt – entwickelt niemals thermische Spannung, egal wie groß die Temperaturschwankung ist. Wärmespannung tritt nur dann auf, wenn etwas diese natürliche Längenänderung verhindert: feste Stützen an beiden Enden, eine starre umgebende Struktur oder eine Schweißnaht, die einen Rohrabschnitt an Ort und Stelle hält. Die Formel σ = E·α·ΔT erfasst dies direkt – sie berechnet die Spannung, die erforderlich wäre, um das Material nach einer Temperaturänderung ΔT wieder auf seine ursprüngliche, uneingeschränkte Länge zu zwingen. Je größer die Temperaturschwankung, desto steifer das Material (höheres E) und je mehr es sich pro Grad ausdehnen möchte (höheres α), desto größer wird die Spannung.
Spannung, Kompression und warum Schienen sich verbiegen
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Das Erhitzen eines gefesselten Glieds führt dazu, dass es länger werden möchte; Weil dies nicht möglich ist, wird es effektiv gequetscht – Druckspannung. Das Abkühlen hat den gegenteiligen Effekt: Das Element möchte schrumpfen, und wenn es auf seiner ursprünglichen Länge gehalten wird, gerät es unter Spannung. In der Praxis ist die thermische Druckbelastung der schwerwiegendere Versagensmodus, da schlanke Bauteile unter hohem Druck sich plötzlich seitwärts verbiegen können, anstatt einfach zu quetschen – genau das ist es, was an einem heißen Tag zu einem „Sonnenknick“ in kontinuierlich geschweißten Schienen führt, wenn bei kühlerem Wetter verlegte und verankerte Gleise weit über ihre Knickgrenze hinaus zusammengedrückt werden, sobald die Sommerhitze eintrifft.
Warum Ingenieure Dehnungsfugen und Dehnungsfugen verwenden
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Da die thermische Belastung in einem vollständig eingespannten Bauteil direkt mit der Temperaturschwankung einhergeht, besteht eine der wirksamsten Abhilfemaßnahmen einfach darin, sie nicht vollständig einzudämmen. Dehnungsfugen in Brücken, Gehwegen und Rohrleitungen geben einer Struktur die Möglichkeit, sich zu bewegen, so dass sich nie die volle Spannung σ = E·α·ΔT entwickelt. Wenn eine vollständige Einspannung unvermeidlich ist – geschweißte Schienen, eingebettete Bewehrungsstäbe, Druckbehälter – berücksichtigen die Konstrukteure stattdessen den erwarteten Temperaturbereich im Voraus, indem sie eine „neutrale“ Installationstemperatur und eine Spannungsgrenze wählen, die das Bauteil niemals überschreiten darf. Dies ist genau die Berechnung, die die Registerkarte „Solve“ in umgekehrter Reihenfolge durchführt.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für thermische Belastung?+
σ = E·α·ΔT, wobei E der Elastizitätsmodul, α der Wärmeausdehnungskoeffizient des Materials und ΔT die Temperaturänderung ist. Diese Formel gilt speziell für ein vollständig eingeschränktes Mitglied – eines, das sich überhaupt nicht ausdehnen oder zusammenziehen kann.
Warum verbeulen Schienen bei heißem Wetter?+
Durchgehend verschweißte Schienen werden bei einer festen „neutralen“ Installationstemperatur verankert und können sich bei Erwärmung nicht ausdehnen. An einem heißen Tag erzeugt der Temperaturanstieg über Neutral eine thermische Druckspannung (σ = E·α·ΔT); Wenn diese Belastung den Knickwiderstand des Gleises übersteigt, verbiegt sich die Schiene plötzlich seitwärts – ein Versagen, das als „Sonnenknick“ bezeichnet wird.
Ist thermische Spannung Zug oder Druck?+
Es kommt auf die Richtung der Temperaturänderung an. Durch Erhitzen eines eingespannten Elements (positives ΔT) entsteht eine Druckspannung, da das Material sich ausdehnen möchte, dies aber nicht kann. Beim Abkühlen (negatives ΔT) entsteht Zugspannung, da das Material schrumpfen möchte, aber in seiner ursprünglichen Länge gehalten wird.
Welche Einheiten verwendet der Rechner?+
Der Elastizitätsmodul wird in Gigapascal (GPa), der Ausdehnungskoeffizient in 1/°C und die Temperaturänderung in Grad Celsius eingegeben. Das Ergebnis wird in Megapascal (MPa) für Spannung und Newton (N) für Rückhaltekraft auf der Registerkarte „Kraft“ angezeigt.
Was ist, wenn sich das Material frei ausdehnen kann?+
Ein Material, das völlig ungehindert ist, entwickelt keine thermische Spannung, unabhängig davon, wie groß die Temperaturänderung ist – die Formel σ = E·α·ΔT gilt nur für ein Element, dessen Längenänderung verhindert wird. Genau aus diesem Grund werden Dehnungsfugen und -spalte zur Entlastung von thermischen Spannungen in realen Bauwerken eingesetzt.
Kann ich die Temperaturänderung anstelle der Spannung berechnen?+
Ja – verwenden Sie die Registerkarte „Lösen“. Unter Berücksichtigung des Elastizitätsmoduls, des Ausdehnungskoeffizienten und einer Zielspannung wird die Formel auf ΔT = σ / (E·α) umgestellt, sodass Sie die Temperaturschwankung erhalten, die diese Spannung in einem vollständig eingespannten Element erzeugen würde.
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