Ermitteln Sie den Widerstandsmoment und das Trägheitsmoment eines Rechteck-, Kreis-, Hohlkreis- oder I-Träger-Querschnitts sowie die Biegespannung, die dieser unter einem aufgebrachten Moment erzeugt.
Querschnitt
Querschnittsbreite in Millimetern.
Querschnittshöhe (Tiefe) in Millimetern.
Durchmesser des massiven runden Abschnitts in Millimetern.
Außendurchmesser des Rohrs in Millimetern.
Innendurchmesser (Bohrung) des Rohrs in Millimetern. Muss kleiner sein als der Außendurchmesser.
Breite der oberen und unteren Flansche in Millimetern.
Gesamttiefe des Balkens in Millimetern.
Dicke jedes Flansches in Millimetern.
Dicke der vertikalen Bahn in Millimetern.
Angewandtes Biegemoment. Lassen Sie das Feld leer und überspringen Sie die Berechnung der Biegespannung.
Ergebnis
—
Geben Sie zur Berechnung oben die Querschnittsabmessungen ein.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte FragenS = I / c
Der Abschnittsmodul gibt an, wie effizient der Querschnitt eines Balkens einer Biegung standhält, unabhängig vom Material, aus dem er besteht.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie eine Querschnittsform
Wählen Sie im Form-Dropdown-Menü „Rechteck“, „Kreis“, „Hohlkreis“ oder „I-Träger“ aus. Jede Form tauscht die benötigten Dimensionsfelder aus – Breite und Höhe für ein Rechteck, ein einzelner Durchmesser für einen Vollkreis, Innen- und Außendurchmesser für ein Rohr und Flansch-/Stegabmessungen für einen I-Träger.
2
Geben Sie die Querschnittsmaße ein
Füllen Sie jedes Maßfeld in Millimetern aus. Der Rechner wird sofort aktualisiert und berechnet das Trägheitsmoment (I) und den Widerstandsmoment (S = I/c) für die ausgewählte Form.
3
Fügen Sie ein Biegemoment für die Spannung hinzu (optional)
Geben Sie ein aufgebrachtes Biegemoment in kN·m ein, um die resultierende Biegespannung (σ = M/S) in Megapascal anzuzeigen. Lassen Sie das Feld leer, wenn Sie nur die Abschnittseigenschaften benötigen.
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Grundlagen
Formel und Methodik
2 Formeln▸
Abschnittsmodul
S = I / c
Der Widerstandsmoment S ist das Trägheitsmoment I geteilt durch c, den Abstand von der neutralen (Schwerpunkt-)Achse zur äußersten Faser des Querschnitts. Es hat die Längeneinheit kubisch (mm³) und misst, wie effizient ein Querschnitt einer Biegung standhält – ein größeres S bedeutet eine geringere Biegespannung bei gleichem aufgebrachten Moment.
Biegebeanspruchung
σ = M / S
Bei einem Balken in reiner Biegung entspricht die maximale Biegespannung σ an der äußersten Faser dem aufgebrachten Biegemoment M dividiert durch das Widerstandsmoment S. Mit M in kN·m und S in mm³ rechnet der Rechner intern um, sodass σ in Megapascal (MPa = N/mm²) ausgegeben wird.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Eine geometrische Eigenschaft eines Querschnitts, S = I/c, die das aufgebrachte Biegemoment mit der maximalen Biegespannung in Beziehung setzt. Ein größerer Widerstandsmoment bedeutet, dass die Form im Verhältnis zu ihrer Größe Biegebelastungen effizienter widersteht.
Wird auch als zweites Flächenmoment bezeichnet. Ein Maß dafür, wie die Fläche eines Querschnitts relativ zu seiner neutralen Achse verteilt ist. Ein größeres I bedeutet, dass die Form unabhängig von der Materialsteifigkeit einer Biegeverformung mehr widersteht.
Die Linie durch den Querschnitt eines Balkens, bei der die Biegespannung Null ist – alles auf der einen Seite steht unter Zug, auf der anderen Seite unter Druck, bei einem Balken, der um ein Moment um diese Achse gebogen wird.
Die durch ein Biegemoment erzeugte innere Spannung, maximal an der äußersten Faser (am weitesten von der neutralen Achse entfernt) und null an der neutralen Achse selbst. Berechnet als σ = M/S.
Der Punkt in einem Querschnitt, der am weitesten von der neutralen Achse entfernt ist – wo die Biegespannung ihre maximale Größe erreicht. Der Abstand von der neutralen Achse zur äußersten Faser wird mit c bezeichnet.
Ein Baustahlabschnitt in Form des Buchstabens I mit zwei horizontalen Flanschen, die durch einen vertikalen Steg verbunden sind. Der größte Teil des Materials befindet sich weit entfernt von der neutralen Achse in den Flanschen, was ihm im Verhältnis zu seinem Gewicht ein hohes Widerstandsmoment verleiht – eine effiziente Form, die Biegungen standhält.
Biegeverhalten, bei dem die Spannung proportional zur Dehnung ist und der Balken nach Entfernen der Last in seine ursprüngliche Form zurückkehrt. Die Formeln S = I/c und σ = M/S gehen von einer elastischen Biegung aus, wobei die Spannung unterhalb der Streckgrenze des Materials bleibt.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Strukturplaner
Rechteckiger Holzbalken
Form RechteckBreite (b) 200 mmHöhe (h) 400 mm
Für ein Rechteck ist S = b·h²/6 = 200 × 400² / 6 ≈ 5.333.333 mm³ und I = b·h³/12 ≈ 1.066.666.667 mm⁴. Eine Verdoppelung der Höhe würde S mit 4 multiplizieren (skaliert mit h²) – die Höhe ist bei weitem der stärkste Hebel für die Biegefestigkeit eines rechteckigen Abschnitts.
🔧
Maschinendesigner
Massiver runder Schaft
Form Kreis (durchgezogen)Durchmesser (d) 150 mm
Für einen Vollkreis ist S = π·d³/32 = π × 150³ / 32 ≈ 331.340 mm³. Ein runder Schaft hat einen kleineren Widerstandsmoment als ein Rechteck mit ähnlicher Gesamtgröße, da sein Material näher an der Mitte verteilt ist und nicht an die Extremitäten gedrängt wird.
Bei diesen Abmessungen ergibt sich ein Widerstandsmodul des Trägers von etwa 940.000 mm³. Die Biegespannung beträgt σ = M/S = (50 kN·m × 1.000.000) / 940.000 mm³ ≈ 53 MPa – deutlich unter den typischen Streckgrenzen von Baustahl von 250–350 MPa, sodass der Abschnitt noch Spielraum hat, bevor er nachgibt.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
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Der Abschnittsmodul gibt an, wie effizient der Querschnitt eines Balkens einer Biegung standhält, unabhängig vom Material, aus dem er besteht. Ingenieure und Bastler verwenden es gleichermaßen, um Querschnittsformen zu vergleichen und zu prüfen, ob ein Balken unter einer bekannten Last innerhalb einer sicheren Biegespannungsgrenze bleibt.
So funktioniert der Abschnittsmodulrechner
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Der Rechner berechnet zunächst das Trägheitsmoment (I) für die ausgewählte Form um ihre Schwerpunktachse (Neutralachse) und dividiert dann durch c – den Abstand von dieser Achse zur äußersten Faser –, um das Widerstandsmoment S = I/c zu erhalten. Rechteck- und Vollkreisformeln sind exakt geschlossene Formen (bh²/6 bzw. πd³/32). Der Hohlkreis subtrahiert das Trägheitsmoment des inneren Kreises vom Trägheitsmoment des äußeren Kreises, bevor er durch c dividiert wird. Der I-Träger behandelt den Abschnitt als vollständiges B×H-Rechteck, wobei zwei seitliche Rechtecke entfernt werden, um den Steg und die Flansche zu belassen, und ignoriert dabei die kleinen Verrundungen, die echte Walzprofile an der Steg-Flansch-Verbindung haben – eine Standardvereinfachung, die bei typischen Proportionen auf ein oder zwei Prozent genau bleibt.
Eingaben und was sie bedeuten
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Alle Maße werden in Millimetern eingegeben und entsprechen der gängigen Bauplanungspraxis. Der Widerstandsmoment (S) wird in mm³ und das Trägheitsmoment (I) in mm⁴ angegeben – beides große Zahlen für realistische Trägergrößen, was zu erwarten ist. Das optionale Biegemoment wird in Kilonewtonmetern (kN·m) eingegeben, einer Standardeinheit der Bautechnik, und die resultierende Biegespannung wird in Megapascal (MPa = N/mm²) angegeben, sodass sie direkt mit der veröffentlichten Streckgrenze eines Materials verglichen werden kann. Die Höhe ist die Eingabe mit der größten Auswirkung auf I und S bei rechteckigen und I-Trägerquerschnitten, da sie in die Formeln in der zweiten oder dritten Potenz eingeht – kleine Höhenzuwächse führen zu übergroßen Zuwächsen bei der Biegefestigkeit.
Grenzen und Randfälle
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Dieser Rechner verarbeitet nur reine elastische Biegung um die horizontale Schwerpunktachse – er berücksichtigt nicht seitliches Torsionsknicken, Scherbeanspruchung, kombinierte Axial- und Biegebelastung oder unsymmetrische Biegung um eine schiefe Achse. Die Formel für I-Träger ignoriert Kehlradien und geht von einem doppelt symmetrischen Querschnitt (gleiche Ober- und Unterflansche) aus, sodass sie nicht genau mit dem veröffentlichten Katalogwert jedes Herstellers für eine bestimmte Walzform übereinstimmt. Verwenden Sie sie zum Schätzen und Vergleichen von benutzerdefinierten oder zusammengesetzten Querschnitten und vergleichen Sie sie mit den Tabellen eines Stahlherstellers für ein bestimmtes Standardprofil. Überprüfen Sie bei jeder tragenden Konstruktion die Ergebnisse anhand Ihrer örtlichen Bauvorschriften und lassen Sie die Berechnung bei Bedarf von einem lizenzierten Ingenieur überprüfen.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für den Abschnittsmodul?+
Der Abschnittsmodul ist S = I/c, wobei I das Trägheitsmoment des Querschnitts um seine neutrale (Schwerpunkt-)Achse und c der Abstand von dieser Achse zur äußersten Faser ist – dem am weitesten von der Achse entfernten Punkt des Abschnitts.
Wie lautet die Abschnittsmodulformel für ein Rechteck?+
Für ein Rechteck mit der Breite b und der Höhe h gilt S = b·h²/6. Die Höhe ist weitaus wichtiger als die Breite, da sie in der Formel quadriert wird – eine Verdoppelung der Höhe vervierfacht das Widerstandsmoment, während eine Verdoppelung der Breite ihn nur verdoppelt.
Wie berechne ich die Biegespannung aus dem Abschnittsmodul?+
Die Biegespannung beträgt σ = M/S, wobei M das aufgebrachte Biegemoment und S das Widerstandsmoment sind. Dies ergibt die maximale Spannung an der äußersten Faser des Querschnitts für einen Balken bei reiner Biegung.
Warum ist ein größerer Widerstandsmoment wichtig?+
Ein größerer Widerstandsmoment bedeutet, dass ein Balken bei gleichem aufgebrachten Moment weniger Biegespannung erzeugt, sodass der Balken eine größere Last – oder dieselbe Last sicherer – tragen kann, bevor er die Streckgrenze seines Materials erreicht. Die Erhöhung von S ist eine Möglichkeit, einen Balken steifer gegen Biegeversagen zu machen, ohne notwendigerweise mehr Material zu verbrauchen, indem Material weiter von der neutralen Achse entfernt wird.
Welche Einheiten verwendet dieser Rechner?+
Die Querschnittsmaße werden in Millimetern eingegeben. Der Rechner gibt das Trägheitsmoment in mm⁴ und den Widerstandsmoment in mm³ an. Das optionale Biegemoment wird in Kilonewtonmeter (kN·m) eingegeben und die resultierende Biegespannung wird in Megapascal (MPa, entspricht N/mm²) angegeben.
Warum lässt sich die Form eines I-Trägers so gut biegen?+
Ein I-Träger konzentriert den größten Teil seiner Querschnittsfläche in den Flanschen, weit entfernt von der neutralen Achse, wo das Material am meisten zum Trägheitsmoment und zum Widerstandsmoment beiträgt. Dadurch hat ein I-Träger einen viel höheren Widerstandsmoment pro Materialeinheit als ein massives Rechteck oder ein Kreis mit der gleichen Fläche – weshalb Baustahlträger auf diese Weise geformt sind und keine massiven Stäbe sind.
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