Berechnen Sie die Poisson-Zahl aus der lateralen und axialen Dehnung oder aus dem Elastizitätsmodul und dem Schubmodul. Typische Werte für gängige Materialien finden Sie auf der Registerkarte „Referenz“.
Aus Dehnungen – ν = −εseitlich / εaxial
Dehnung senkrecht zur aufgebrachten Last als einheitenlose Beziehung (normalerweise negativ für eine gestreckte Probe).
Dehnung entlang der Richtung der aufgebrachten Last, wie bei einer einheitenlosen Beziehung.
Aus E & G — ν = E / (2G) − 1
Elastizitätsmodul (Zugmodul) in Gigapascal.
Schermodul (Steifigkeitsmodul) in Gigapascal.
Typische Poissonzahlwerte
Hierbei handelt es sich um häufig genannte Referenzwerte für reale Materialien. Die tatsächlichen Werte variieren je nach Legierung, Temperatur und Herstellungsprozess.
Material
Typisches ν
Kork
~0.00
Beton
~0.20
Glas
~0.22
Gusseisen
~0.26
Baustahl
~0.30
Aluminium
~0.33
Kupfer
~0.34
Gummi
~0.50
Ergebnis
—
Geben Sie zur Berechnung oben die Werte ein.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenν = −ε_lateral / ε_axial
Die Poissonzahl sagt Ihnen, wie der Querschnitt eines Materials reagiert, wenn Sie in Längsrichtung daran ziehen oder drücken.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie eine Registerkarte für das aus, was Sie wissen
Verwenden Sie die Registerkarte „Aus Dehnungen“, wenn Sie bereits über seitliche und axiale Dehnungsmessungen aus einem Zugversuch verfügen. Verwenden Sie stattdessen die Registerkarte „Aus E und G“, wenn Sie den Elastizitätsmodul und den Schubmodul eines Materials kennen. Auf der Registerkarte „Referenz“ werden typische Poissonzahlwerte für gängige Materialien aufgeführt, ohne dass Eingaben erforderlich sind.
2
Geben Sie Ihre bekannten Werte ein
Dehnungswerte sind einheitenlose Verhältnisse (z. B. 0,001), keine Prozentsätze – die seitliche Dehnung ist bei einer gedehnten Probe normalerweise negativ, da das Material mit zunehmender Länge schmaler wird. Elastizitätsmodul und Schubmodul werden in Gigapascal (GPa) eingegeben.
3
Lesen Sie das Verhältnis und die Interpretation
Die Ergebniskarte zeigt die Poissonzahl (ν) – eine dimensionslose Zahl, die für gewöhnliche Materialien typischerweise zwischen 0 und 0,5 liegt. Die Interpretationslinie erklärt, ob der Wert im typischen Bereich liegt, nahe der inkompressiblen Grenze liegt oder negativ (auxetisch) ist.
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Grundlagen
Formel und Methodik
2 Formeln▸
Poissonzahl aus Stämmen
ν = −ε_lateral / ε_axial
ν (nu) ist die Poissonzahl, ε_lateral ist die Dehnung senkrecht zur aufgebrachten Last (Querdehnung) und ε_axial ist die Dehnung entlang der Richtung der aufgebrachten Last. Bei beiden Dehnungen handelt es sich um dimensionslose Verhältnisse. Das negative Vorzeichen existiert, weil sich ein Material, das entlang seiner Achse gedehnt wird (positive axiale Dehnung), typischerweise seitlich zusammenzieht (negative laterale Dehnung), sodass das Verhältnis ohne Vorzeichen für gewöhnliche Materialien negativ ausfallen würde. Beispiel: ε_lateral = −0,0003, ε_axial = 0,001 → ν = −(−0,0003)/0,001 = 0,3.
Poissonzahl aus elastischen Konstanten
ν = E / (2G) − 1
E ist der Young-Modul (der Elastizitäts-/Zugmodul) und G ist der Schubmodul (Steifigkeitsmodul), beide typischerweise in GPa. Diese Formel bezieht sich auf drei der elastischen Konstanten für ein isotropes Material: Young-Modul, Schermodul und Poisson-Zahl sind nicht unabhängig; Wenn man zwei davon kennt, bestimmt man die dritte. Beispiel: E = 200 GPa, G = 76,9 GPa → ν = 200/(2×76,9) − 1 ≈ 0,3, passender Baustahl.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Ein dimensionsloses Maß dafür, wie stark sich ein Material senkrecht zu einer aufgebrachten Last zusammenzieht, wenn es sich entlang der Lastrichtung ausdehnt, definiert als ν = −ε_lateral/ε_axial. Benannt nach Siméon Poisson. Bereich von –1 bis 0,5 für isotrope Materialien; Die häufigsten Materialien liegen zwischen 0,2 und 0,35.
Die Dehnung (dimensionslose Änderung der Abmessung gegenüber der ursprünglichen Abmessung), gemessen senkrecht zur Richtung einer ausgeübten Axiallast – zum Beispiel, wie stark der Durchmesser eines Stabes schrumpft, wenn er in Längsrichtung gedehnt wird. Normalerweise negativ, wenn die axiale Dehnung positiv ist.
Die entlang der Richtung einer aufgebrachten Last gemessene Dehnung – wie stark sich eine Probe in derselben Richtung, in die die Kraft ausgeübt wird, ausdehnt oder zusammendrückt.
Ein allgemeiner Begriff für jedes Verhältnis von Spannung zu Dehnung, das die Steifigkeit eines Materials im elastischen Bereich misst. Der Elastizitätsmodul, der Schubmodul und der Kompressionsmodul sind allesamt Elastizitätsmodule, und die Poissonzahl verknüpft sie bei isotropen Materialien miteinander.
Ein Maß für die Steifigkeit eines Materials unter Scherbelastung (Kräfte, die benachbarte Schichten aneinander vorbeigleiten lassen), bezeichnet mit G. Bezogen auf den Young-Modul und die Poisson-Zahl durch G = E / (2(1+ν)).
Ein Material mit einem negativen Poisson-Verhältnis – es wird beim Ziehen senkrecht zur Dehnungsrichtung dicker (nicht dünner). In der Natur selten, aber in einigen Schäumen, Textilien und einspringenden Wabenstrukturen hergestellt.
Ein Material, dessen Volumen sich bei Verformung nicht ändert. Für isotrope Materialien entspricht dies der theoretischen Obergrenze ν = 0,5 – Gummi und andere Elastomere liegen sehr nahe an dieser Grenze.
ν = −ε_lateral/ε_axial = −(−0,0003)/0,001 = 0,3. Dies entspricht dem Lehrbuch der Poisson-Zahl für Baustahl – eine Dehnung von 0,1 % führt zu einer Verengung von 0,03 % senkrecht zur Last, was deutlich im typischen Bereich von 0,2–0,35 für Metalle liegt.
ν = E/(2G) − 1 = 200/(2 × 76,9) − 1 ≈ 0,301 – das gleiche Ergebnis wie das dehnungsbasierte Beispiel, da beide Pfade denselben Stahl beschreiben. Dies zeigt, wie Poissonzahl, Elastizitätsmodul und Schermodul für jedes isotrope Material miteinander verknüpft sind.
ν = −(−0,05)/0,1 = 0,5 – das theoretische Maximum für ein isotropes Material und typisch für gummiartige Elastomere, deren Volumen sich beim Strecken oder Komprimieren kaum ändert. Dies steht im Gegensatz zum Wert von 0,3 bei Stahl und zeigt, warum sich Gummi selbst bei großer Verformung an den Seiten kaum ausbeult.
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Quellenangabe
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APA und MLA▸
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Die Poissonzahl sagt Ihnen, wie der Querschnitt eines Materials reagiert, wenn Sie in Längsrichtung daran ziehen oder drücken. Es ist eine der drei grundlegenden elastischen Konstanten, die Ingenieure neben dem Elastizitätsmodul und dem Schubmodul verwenden, um vollständig zu beschreiben, wie sich ein isotropes Material unter Last verformt.
Warum Materialien beim Dehnen dünner werden
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Zieht man an einem Gummiband, wird es beim Dehnen sichtbar schmaler – diese Verengung ist genau das, was die Poissonzahl quantifiziert. Die meisten Materialien behalten bei elastischer Verformung etwa ihr ursprüngliches Volumen bei. Wenn sie sich also in eine Richtung dehnen, müssen sie sich zum Ausgleich in den senkrechten Richtungen zusammenziehen. Die Poissonzahl ist die Proportionalitätskonstante zwischen diesen beiden Dehnungen: ν = −ε_lateral/ε_axial. Ein Material mit ν nahe 0,5 (wie Gummi) ist nahezu inkompressibel und verengt sich pro Dehnungseinheit im Verhältnis zu seiner Volumenänderung stark; Ein Material mit ν nahe 0 (wie Kork) verengt sich kaum, und genau deshalb eignet sich Kork gut als Weinflaschenverschluss – er kann in den Hals hineingedrückt werden, ohne sich seitlich auszubeulen.
Eine von drei verknüpften elastischen Konstanten
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Für ein isotropes Material sind der Elastizitätsmodul (E), der Schubmodul (G) und die Poissonzahl (ν) nicht unabhängig – zwei beliebige bestimmen die dritte über ν = E/(2G) − 1, äquivalent G = E/(2(1+ν)). Auf der zweiten Registerkarte dieses Rechners können Sie ν direkt aus E und G berechnen, wenn Sie diese Werte aus einem Materialdatenblatt, aber keine Rohdehnungsmessungen haben. In beiden Fällen handelt es sich um dieselbe zugrunde liegende Materialeigenschaft. Für konsistente Eingaben stimmen die beiden Registerkarten immer überein.
Der gültige Bereich und auxetische Materialien
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Bei isotropen Materialien begrenzt die thermodynamische Stabilität die Poissonzahl auf den Bereich von −1 bis 0,5. Fast jedes Alltagsmaterial liegt zwischen 0 und 0,5, wobei die meisten Metalle bei etwa 0,25–0,35 liegen. Werte um 0,5 weisen auf nahezu Inkompressibilität hin (Gummi, biologisches Weichgewebe). Eine kleine Anzahl technischer Materialien – bestimmte Schäume, einspringende Wabengitter und einige Textilien – sind auxetisch: Sie haben ein negatives Poisson-Verhältnis und werden tatsächlich senkrecht zur Strecke dicker. Dieser Rechner akzeptiert jede Eingabekombination innerhalb der Dehnungs- oder Modul-Registerkarten; Werte außerhalb des typischen Bereichs werden dennoch vom Interpretationstext berechnet und gekennzeichnet und nicht abgelehnt, da auxetische Materialien ein legitimer (wenn auch ungewöhnlicher) Fall sind.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für die Poissonzahl?+
ν = −ε_lateral/ε_axial, unter direkter Verwendung der lateralen (transversalen) und axialen Dehnungen. Sie kann auch aus den elastischen Konstanten berechnet werden als ν = E/(2G) − 1, wobei E der Elastizitätsmodul und G der Schubmodul ist.
Wie hoch ist die Poissonzahl für Stahl?+
Baustahl hat eine Poissonzahl von etwa 0,3. Aluminium liegt bei etwa 0,33, Kupfer bei etwa 0,34 und Gusseisen bei etwa 0,26 – die meisten Strukturmetalle liegen im Bereich von 0,25–0,35.
In welchem Bereich liegt die Poissonzahl?+
Für isotrope Materialien liegt die Poissonzahl zwischen −1 und 0,5. Werte von 0 bis 0,5 decken im Wesentlichen alle gängigen Materialien ab, wobei 0,5 die theoretische Inkompressibilitätsgrenze ist (gummiartige Materialien liegen nahe daran) und 0 bedeutet, dass sich ein Material bei Dehnung überhaupt nicht seitlich zusammenzieht (Kork liegt nahe bei Null).
Wie hoch ist die Poissonzahl für Gummi?+
Gummi und andere Elastomere haben eine Poissonzahl nahe 0,5, der theoretischen Obergrenze für isotrope Materialien, da sie nahezu inkompressibel sind – sie ändern ihr Volumen kaum, wenn sie gedehnt oder komprimiert werden.
Was ist ein auxetisches Material?+
Ein auxetisches Material hat eine negative Poissonzahl – es wird senkrecht zur Richtung, in die es gedehnt wird, dicker und nicht dünner. Dies ist in der Natur ungewöhnlich, wurde aber in bestimmte Schäume, Textilien und Wabengitterstrukturen eingebaut.
Wie ermittle ich die Poissonzahl aus dem Elastizitätsmodul und dem Schubmodul?+
Verwenden Sie ν = E/(2G) − 1 und geben Sie beide Moduli in denselben Einheiten ein (dieser Rechner verwendet GPa für beide). Diese Beziehung gilt für jedes isotrope elastische Material und ist die Formel, die auf der Registerkarte „Von E und G“ verwendet wird.
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