Berechnen Sie Eigenfrequenz, Kreisfrequenz und Periodendauer eines Feder-Masse-Systems oder eines Kragträgers. Rechnen Sie auch direkt zwischen Frequenz, Periode und Kreisfrequenz um.
Federmasse – f = (1/2π)√(k/m)
Erforderliche Kraft pro Verschiebungseinheit.
Masse an der Feder befestigt.
Auslegerbalken – erster Vibrationsmodus
Elastizitätsmodul des Trägermaterials (z. B. 200 GPa für Stahl).
Zweites Flächenmoment des Balkenquerschnitts.
Verteilte Masse des Balkens pro Meter Länge.
Länge des Auslegers, an einem Ende befestigt.
Konvertieren Sie Frequenz, Periode oder Kreisfrequenz
Bekannte Eigenfrequenz in Hertz (Zyklen pro Sekunde).
Bekannte Zeit für einen vollständigen Zyklus in Sekunden.
Bekannte Winkelfrequenz im Bogenmaß pro Sekunde.
Ergebnis
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Geben Sie zur Berechnung oben die Werte ein.
4 Min. Lesezeit4 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenf = (1/2π) √(k/m)
Jedes mechanische System – eine Feder, die eine Masse hält, ein an der Wand befestigter Balken, ein Brückendeck, eine Gitarrensaite – hat eine oder mehrere Eigenfrequenzen, bei denen es bei Störung vorzugsweise vibriert.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
4 Schritte▸
1
Wählen Sie einen Berechnungsmodus
Wählen Sie die Registerkarte „Feder-Masse“, wenn Sie eine diskrete Masse auf einer Feder haben (Steifigkeit und Masse). Wählen Sie „Auslegerbalken“, wenn Sie einen an einem Ende befestigten Balken analysieren (E-Modul, Trägheitsmoment, Masse pro Länge und Länge). Wählen Sie „Periode“, wenn Sie Frequenz, Periode oder Winkelfrequenz bereits kennen und die anderen beiden benötigen.
2
Geben Sie Ihre Werte ein
Geben Sie auf der Registerkarte „Feder-Masse“ die Steifigkeit (k) in Newton pro Meter und die Masse (m) in Kilogramm ein. Geben Sie auf der Registerkarte „Auslegerbalken“ den Elastizitätsmodul des Materials, das Trägheitsmoment des Balkens, seine Masse pro Längeneinheit und seine Länge ein. Der Rechner aktualisiert sich sofort, während Sie tippen.
3
Lesen Sie das Ergebnis
Die Ergebniskarte zeigt die Eigenfrequenz (f) in Hertz, zusammen mit der Winkelfrequenz (ω) im Bogenmaß pro Sekunde und der Periode (T) in Sekunden. Die Interpretationszeile erklärt das Resonanzrisiko im Klartext.
4
Konvertieren Sie zwischen Frequenz, Periode und Kreisfrequenz
Wechseln Sie zur Registerkarte „Periode“ und wählen Sie den Wert aus, den Sie bereits kennen – Frequenz, Periode oder Winkelfrequenz – und der Rechner berechnet die anderen beiden mithilfe von f = 1/T und ω = 2πf.
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Grundlagen
Formel und Methodik
2 Formeln▸
Feder-Masse-System
f = (1/2π) √(k/m)
Die Eigenfrequenz (f) eines ungedämpften Feder-Masse-Systems hängt von der Federsteifigkeit (k, in Newton pro Meter) und der angehängten Masse (m, in Kilogramm) ab. Eine steifere Feder oder eine leichtere Masse erhöhen beide die Eigenfrequenz.
Auslegerbalken (erster Modus)
f₁ = (λ₁² / 2πL²) √(EI/μ)
Die Eigenfrequenz des ersten Modus eines gleichmäßigen Auslegerbalkens (an einem Ende befestigt, am anderen frei) hängt vom Elastizitätsmodul (E), dem Trägheitsmoment des Querschnitts (I), der Masse des Balkens pro Längeneinheit (μ) und seiner Länge (L) ab. λ₁ ≈ 1,875104 ist der Eigenwert des ersten Modus des Cantilever-Randwertproblems, eine Standardkonstante aus der Euler-Bernoulli-Balkentheorie.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Die Frequenz, mit der ein System schwingt, wenn es ohne externe Antriebskraft verschoben und freigegeben wird, ohne Berücksichtigung der Dämpfung. Wird mit f bezeichnet und in Hertz (Hz, Zyklen pro Sekunde) gemessen.
Die Reaktion mit großer Amplitude, die auftritt, wenn ein System durch eine äußere Kraft mit (oder nahe) seiner Eigenfrequenz angetrieben wird. Die Vermeidung von Resonanzen ist ein zentraler Entwurfsaspekt im Maschinen- und Bauingenieurwesen.
Die Eigenfrequenz wird im Bogenmaß pro Sekunde statt in Zyklen pro Sekunde ausgedrückt. Bezieht sich auf die Frequenz durch ω = 2πf und wird direkt in den Bewegungsgleichungen für schwingende Systeme verwendet.
Auch Steifigkeit (k) genannt – die Kraft, die erforderlich ist, um eine Feder um eine Längeneinheit zu verschieben, gemessen in Newton pro Meter (N/m). Ein größeres k bedeutet eine steifere Feder und eine höhere Eigenfrequenz für eine gegebene Masse.
Ein Balken oder Strukturelement, das an einem Ende befestigt (starr gestützt) und am anderen frei ist. Auslegerträger sind im Hochbau weit verbreitet, von Balkonen bis hin zu Flugzeugflügeln, und jeder hat seine eigenen Schwingungsmodi.
Eine der diskreten Formen und Frequenzen, bei denen eine kontinuierliche Struktur (wie ein Balken) auf natürliche Weise schwingt. Der erste Modus ist die einfachste Form mit der niedrigsten Frequenz; Höhere Moden haben zunehmend höhere Frequenzen und komplexere Formen.
Die Zeit, die erforderlich ist, um einen vollständigen Schwingungszyklus abzuschließen, wird mit T bezeichnet und in Sekunden gemessen. Periode und Frequenz sind Kehrwerte: T = 1/f.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Maschinenbauingenieur
Überprüfung eines federnd gelagerten Bauteils
Federsteifigkeit (k) 1.000 N/mMasse (m) 5 kg
f = (1/2π)√(1000/5) = (1/2π)√200 ≈ 2,25 Hz. Wenn die Komponente Vibrationen in der Nähe von 2,25 Hz ausgesetzt ist (z. B. von einem nahegelegenen Motor), besteht die Gefahr einer Resonanz und sie sollte neu konstruiert oder isoliert werden.
🏗️
Bauingenieur
Schätzung des ersten Modus eines freitragenden Stahlträgers
Elastizitätsmodul (E) 200 GPaTrägheitsmoment (I) 500.000 mm⁴Masse pro Länge (μ) 5 kg/mLänge (L) 1 m
f₁ = (1,875²/2π·1²)√(200e9×5e-7/5) ≈ 79,1 Hz. Dies ist die niedrigste Eigenfrequenz (erster Modus) des Strahls – die Frequenz, bei der er klingeln würde, wenn er wie ein Sprungbrett gezupft würde.
🧮
Student
Konvertieren einer gemessenen Periode in eine Frequenz
Zeitraum (T) 0,2 s
Verwendung der Registerkarte „Periode“ mit „Von Periode“: f = 1/T = 1/0,2 = 5 Hz und ω = 2πf ≈ 31,42 rad/s. Dies entspricht einem System mit einem Federsteifigkeits- und Massenverhältnis von k/m = (2π×5)² ≈ 987 (s⁻²).
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
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Jedes mechanische System – eine Feder, die eine Masse hält, ein an der Wand befestigter Balken, ein Brückendeck, eine Gitarrensaite – hat eine oder mehrere Eigenfrequenzen, bei denen es bei Störung vorzugsweise vibriert. Zu wissen, dass die Frequenz wichtig ist, weil das Fahren eines Systems in deren Nähe Resonanzen verursacht, die die Vibrationen auf ein schädliches Niveau verstärken können. Dieser Rechner ermittelt die Eigenfrequenz für zwei gängige Fälle (ein Feder-Masse-System und einen Ausleger) und rechnet frei zwischen Frequenz, Kreisfrequenz und Periode um.
So funktioniert der Eigenfrequenzrechner
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Für ein einfaches Feder-Masse-System ergibt sich die Eigenfrequenz direkt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz, angewendet auf einfache harmonische Bewegung: f = (1/2π)√(k/m). Eine steifere Feder (höheres k) erhöht die Frequenz; eine schwerere Masse (höheres m) senkt es. Für eine kontinuierliche Struktur wie einen freitragenden Balken gilt die gleiche Idee, aber die eigene Steifigkeit und verteilte Masse des Balkens ersetzen die diskrete Feder und Punktmasse. Die Formel des ersten Modus, f₁ = (λ₁²/2πL²)√(EI/μ), ergibt sich aus der Lösung der Euler-Bernoulli-Strahlgleichung mit Cantilever-Randbedingungen (fest-frei); λ₁ ≈ 1,875104 ist die erste Wurzel dieses Randwertproblems, einer weithin tabellierten Konstante in Referenzen zur Schwingungstechnik.
Eingaben und was sie bedeuten
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Die Federsteifigkeit (k) wird in Newton pro Meter und die Masse (m) in Kilogramm eingegeben. Für den Auslegerträger wird der Elastizitätsmodul (E) in Gigapascal (eine Materialeigenschaft – etwa 200 GPa für Baustahl), das Trägheitsmoment (I) in Viertelmillimetern (eine Querschnittsformeigenschaft), die Masse pro Längeneinheit (μ) in Kilogramm pro Meter und die Länge (L) in Metern eingegeben. Geben Sie auf der Registerkarte „Periode“ die einzelne Größe ein, die Sie bereits kennen – Frequenz in Hertz, Periode in Sekunden oder Winkelfrequenz im Bogenmaß pro Sekunde – und der Rechner trägt die anderen beiden mit f = 1/T und ω = 2πf ein.
Grenzen und Randfälle
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Beide Formeln gehen von keiner Dämpfung aus – reale Systeme verlieren etwas Energie durch Reibung und Materialdämpfung, was die beobachtete Frequenz leicht senkt und dazu führt, dass die Schwingungen mit der Zeit abklingen; Dieser Rechner modelliert diesen Zerfall nicht. Die Cantilever-Formel gibt nur den ersten (niedrigsten) Schwingungsmodus zurück; Ein realer Strahl hat unendlich viele höhere Moden bei höheren Frequenzen, von denen jede einen anderen Eigenwert anstelle von λ₁ erfordert. Die Balkenformel geht außerdem von einem gleichmäßigen Querschnitt über die gesamte Länge und kleinen Abweichungen innerhalb des elastischen Bereichs aus – sie sollte als Schätzung für konische, zusammengesetzte oder stark belastete Balken betrachtet werden und nicht als Ersatz für eine vollständige Modalanalyse.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für die Eigenfrequenz?+
Für ein Feder-Masse-System ist f = (1/2π)√(k/m), wobei k die Federsteifigkeit in N/m und m die Masse in Kilogramm ist. Für den ersten Schwingungsmodus eines Auslegers gilt f₁ = (λ₁²/2πL²)√(EI/μ), wobei λ₁ ≈ 1,875104.
Was ist Resonanz und warum ist sie wichtig?+
Resonanz entsteht, wenn eine äußere Kraft ein System mit (oder sehr nahe an) seiner Eigenfrequenz antreibt, wodurch die Schwingungsamplitude viel größer wird, als die Antriebskraft allein vermuten lässt. Ingenieure prüfen die Eigenfrequenz speziell, um zu vermeiden, dass etwas entworfen wird, das unter normalen Betriebsbedingungen (wie der Laufgeschwindigkeit eines Motors oder dem Fußgängerverkehr auf einer Fußgängerbrücke) in Resonanz tritt.
Bedeutet eine steifere Feder oder ein steiferer Balken eine höhere Eigenfrequenz?+
Ja. Die Eigenfrequenz skaliert mit der Quadratwurzel der Steifigkeit (oder dem Elastizitätsmodul und dem Trägheitsmoment für einen Balken) und umgekehrt mit der Quadratwurzel der Masse. Ein steiferes System vibriert schneller; ein schwereres System vibriert langsamer, alles andere ist gleich.
Warum verwendet die Berechnung des Auslegerbalkens eine Konstante wie 1,875?+
Dieser Wert (λ₁ ≈ 1,875104) ist die erste Wurzel der charakteristischen Gleichung für einen freitragenden (feststehenden) Balken gemäß der Euler-Bernoulli-Schwingungstheorie. Es ist spezifisch für den ersten (niedrigsten) Schwingungsmodus und für fest-freie Randbedingungen – andere Stützen (z. B. festgesteckt) verwenden andere tabellierte Konstanten.
Welche Einheiten verwendet der Eigenfrequenzrechner?+
Die Eigenfrequenz wird in Hertz (Hz) angezeigt. Die Winkelfrequenz wird im Bogenmaß pro Sekunde (rad/s) angezeigt. Der Zeitraum wird in Sekunden (s) angezeigt. Die Federsteifigkeit wird in N/m, die Masse in kg, der Elastizitätsmodul in GPa, das Trägheitsmoment in mm⁴ und die Masse pro Länge in kg/m eingegeben.
Berücksichtigt dieser Rechner die Dämpfung?+
Nein. Diese Version berechnet die ungedämpfte Eigenfrequenz, den Standardreferenzwert, mit dem Ingenieure eine Fahrfrequenz vergleichen. Echte Systeme weisen eine gewisse Dämpfung auf, die die tatsächliche Resonanzfrequenz leicht senkt und dazu führt, dass freie Schwingungen mit der Zeit abklingen – dieser Effekt wird hier nicht modelliert.
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