Die Halbwertszeit ist die einzelne Zahl, die angibt, wie schnell etwas zerfällt – sei es ein radioaktives Isotop, ein Medikament in Ihrem Blutkreislauf oder ein Prozess, der in einer bestimmten Zeit einen bestimmten Bruchteil von sich selbst verliert. Dieser Rechner löst das Gesetz des exponentiellen Zerfalls für jede Unbekannte und übersetzt das Ergebnis in die Zerfallskonstante, die mittlere Lebensdauer und den verbleibenden Prozentsatz. In diesem Leitfaden wird erklärt, wie diese Größen zusammenhängen, wie die Radiokarbondatierung funktioniert und was „fünf Halbwertszeiten“ für Medikamente bedeuten.
Wie exponentieller Zerfall funktioniert
Der radioaktive Zerfall und die Eliminierung von Medikamenten erster Ordnung folgen beide derselben Regel: In jedem festgelegten Intervall verschwindet ein konstanter Bruch dessen, was übrig bleibt. Nach einer Halbwertszeit sind noch 50 % übrig; nach zwei 25 %; nach drei 12,5 %; und so weiter – nie ganz Null erreichen. Die maßgebliche Gleichung lautet N = N₀ · (½)^(t/t½). Entscheidend ist, dass die Halbwertszeit nicht von der Ausgangsmenge abhängt: Ein Gramm Kobalt-60 und ein Kilogramm davon verlieren beide in 5,27 Jahren die Hälfte ihrer Atome. Da in jedem Intervall derselbe Bruchteil verloren geht, ergibt die Auftragung der Menge gegen die Zeit die charakteristische Exponentialkurve, die Sie auf der Registerkarte „Abklingkurve“ sehen, und die Auftragung auf einer logarithmischen Achse ergibt eine gerade Linie, deren Steigung die Abklingkonstante ist.
Halbwertszeit, Zerfallskonstante und mittlere Lebensdauer
Drei Zahlen beschreiben den gleichen Zerfall. Die Halbwertszeit t½ ist am intuitivsten – die Zeit, die die Hälfte der Probe benötigt. Die Zerfallskonstante λ = ln(2)/t½ ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein einzelnes Atom zerfällt, und sie erscheint im grundlegenden Geschwindigkeitsgesetz dN/dt = −λN. Die mittlere Lebensdauer τ = 1/λ = t½/ln(2) ist die durchschnittliche Zeit, die ein einzelnes Atom tatsächlich überlebt; sie beträgt immer etwa das 1,443-fache der Halbwertszeit, und nach einer mittleren Lebensdauer bleibt genau 1/e ≈ 36,8 % der Probe übrig. Die Aktivität einer Quelle – ihre Zerfälle pro Sekunde – beträgt A = λN, daher bedeutet eine kurze Halbwertszeit eine hohe Aktivität für die gleiche Anzahl von Atomen. Dieser Rechner meldet alle drei, sodass Sie zwischen dem λ des Physikers, dem t½ des Klinikers und dem τ des Statistikers wechseln können, ohne sie neu abzuleiten.
Radiokarbondatierung und geologische Uhren
Die Lösung des Zerfallsgesetzes für die Zeit verwandelt die Halbwertszeit in eine Uhr. Lebewesen absorbieren Kohlenstoff-14 aus der Atmosphäre; Wenn sie sterben, zerfällt das C-14 (Halbwertszeit 5.730 Jahre) ersatzlos, sodass der verbleibende Bruchteil das Alter verrät. Gemessene 25 % bedeuten zwei Halbwertszeiten oder ~11.460 Jahre. Langlebigere Isotope datieren tiefere Zeiten: Kalium-40 (1,25 Milliarden Jahre) und Uran-238 (4,468 Milliarden Jahre) werden zur Datierung von Gesteinen und Meteoriten verwendet, und die U-238-Datierung legt das Alter der Erde auf etwa 4,54 Milliarden Jahre fest. Jede Methode hat einen nützlichen Bereich – etwa ein Zehntel bis zehn Halbwertszeiten – jenseits dessen bleibt zu wenig oder zu viel übrig, um genau zu messen, weshalb kein einzelnes Isotop alles datieren kann.
Arzneimittelhalbwertszeit und die Fünf-Halbwertszeit-Regel
Die meisten Medikamente verlassen den Körper durch Kinetik erster Ordnung, daher gilt die gleiche Rechnung. Daraus ergeben sich zwei praktische Faustregeln. Erstens ist eine Einzeldosis nach fünf Halbwertszeiten zu etwa 97 % verschwunden (3,125 % verbleibend) und nach etwa sieben effektiv – zu weniger als 1 % – verschwunden. Zweitens steigen bei einem regelmäßigen Dosierungsplan die Blutspiegel an und erreichen nach etwa fünf Halbwertszeiten ein Plateau im Steady State, weil es so lange dauert, bis die ausgeschiedene Menge die hinzugefügte Dosis aufgeholt hat. Ein Medikament mit einer Halbwertszeit von 5 Stunden wie Koffein erreicht den Steady State nach etwa einem Tag; eine mit einer 4-tägigen Halbwertszeit wie Fluoxetin dauert Wochen. Die Registerkarte „Arzneimittelhalbwertszeit“ schätzt sowohl die Clearance als auch den Steady-State-Zeitpunkt, aber die tatsächliche Pharmakokinetik variiert je nach Alter, Organfunktion und Genetik, und einige Substanzen (insbesondere Alkohol und Phenytoin) unterliegen überhaupt keinem Zerfall erster Ordnung – betrachten Sie diese Zahlen daher als pädagogische und nicht als medizinische Orientierung.
Randfälle und Grenzen
Einige Situationen brechen das einfache Modell. Die verbleibende Menge kann niemals die Anfangsmenge überschreiten. Wenn Sie den Rechner also bitten, nach Zeit oder Halbwertszeit zu suchen, wobei N größer als N₀ ist, werden die Eingaben als ungültig gekennzeichnet – durch den Zerfall wird nur Material entfernt. Eine Halbwertszeit von Null oder darunter ist physikalisch bedeutungslos und wird abgelehnt. Das Modell geht außerdem von einem einzelnen, reinen Zerfallsprozess aus: Es berücksichtigt keine Zerfallsketten, bei denen ein Tochterisotop selbst radioaktiv ist (säkulares Gleichgewicht), Isotopenmischungen mit unterschiedlichen Halbwertszeiten oder biologische Halbwertszeiten, die Stoffwechsel und Ausscheidung kombinieren. Für diese liefert das einfache Gesetz eine nützliche erste Annäherung, für präzise Arbeiten ist jedoch ein spezielles Modell erforderlich.