Lösen Sie ln(P₂/P₁) = −ΔHvap/R·(1/T₂ − 1/T₁) nach Dampfdruck, Temperatur oder Verdampfungsenthalpie anhand von Messwerten bei zwei Punkten auf. Wählen Sie die gesuchte Größe, bestimmen Sie den Dampfdruck bei einer neuen Temperatur oder berechnen Sie ΔHvap aus zwei Messungen.
Eingaben
Lösen Sie nach
Jede Druckeinheit, solange sie mit P₂ übereinstimmt (atm, mmHg, kPa...).
Kelvin (K). Wandeln Sie °C in K um, indem Sie 273,15 addieren.
Gleiche Druckeinheit wie P₁.
Kelvin (K).
Die Energie, die benötigt wird, um ein Mol der Substanz zu verdampfen.
Wählen Sie die Variable oben aus, geben Sie die anderen vier ein, und die Lösung erfolgt automatisch. Die Temperaturen müssen in Kelvin angegeben werden; Die Drücke müssen nur mit der Einheit des anderen übereinstimmen.
Ergebnis
—
Wählen Sie eine Variable aus, nach der aufgelöst werden soll, und geben Sie die anderen vier ein.
Finden Sie den Dampfdruck bei einer neuen Temperatur
Dampfdruck, den Sie bereits kennen, z.B. 1 atm ist der normale Siedepunkt.
Kelvin (K). Die Temperatur entspricht P₁.
Kelvin (K). Die gewünschte Temperatur ist der Dampfdruck.
Wasser hat nahe seinem Siedepunkt etwa 40,7 kJ/mol.
Ergebnis
—
Geben Sie einen bekannten Druck-/Temperaturpunkt, ΔHvap, und die neue Temperatur ein.
Finden Sie ΔHvap aus zwei gemessenen Punkten
Jede Druckeinheit, solange sie mit P₂ übereinstimmt.
Kelvin (K).
Gleiche Druckeinheit wie P₁.
Kelvin (K). Muss sich von T₁ unterscheiden.
Ergebnis
—
Geben Sie zwei Dampfdruck-/Temperaturpunkte ein, um nach ΔHvap zu suchen.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenln(P₂/P₁) = −ΔHvap/R · (1/T₂ − 1/T₁)
Die Clausius-Clapeyron-Gleichung ist das Standardwerkzeug, um den Dampfdruck eines Stoffes mit seiner Temperatur in Verbindung zu bringen.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie aus, was Sie lösen möchten
Wählen Sie auf der Registerkarte „Lösen“ P₁, T₁, P₂, T₂ oder ΔHvap mit der Chipreihe. Der Rechner blendet dieses Feld aus – füllen Sie die anderen vier aus und es wird automatisch berechnet. Wenn Sie lediglich einen neuen Dampfdruck oder einen ΔHvap-Wert wünschen, verwenden Sie stattdessen die entsprechenden Registerkarten „Dampfdruck“ oder „Enthalpie“.
2
Geben Sie Ihre Zweipunktdaten ein
Dampfdruck und Temperatur müssen jeweils aus demselben physikalischen Zustand stammen – einem Druck gepaart mit der Temperatur, bei der er gemessen wurde. Die Temperaturen müssen in Kelvin angegeben werden (addieren Sie 273,15 zu einem Celsius-Wert); Drücke können in jeder beliebigen Einheit vorliegen, solange P₁ und P₂ dieselbe Einheit verwenden.
3
Lesen Sie den gelösten Wert und die Interpretation
Die Ergebniskarte zeigt die gelöste Variable mit ihrer Gleichung und die Interpretationszeile erklärt, was die Zahl bedeutet – zum Beispiel, dass der Dampfdruck exponentiell mit der Temperatur ansteigt oder wie empfindlich dieser Anstieg auf ΔHvap reagiert.
⚡
Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Clausius-Clapeyron-Gleichung
ln(P₂/P₁) = −ΔHvap/R · (1/T₂ − 1/T₁)
P₁ und P₂ sind die Dampfdrücke (jede konsistente Einheit) bei den absoluten Temperaturen T₁ und T₂ (Kelvin). ΔHvap ist die molare Verdampfungsenthalpie (J/mol) und R = 8,314 J/(mol·K) ist die universelle Gaskonstante. Die Gleichung geht davon aus, dass ΔHvap über den Temperaturbereich konstant ist, was für eine bescheidene Spanne gut gilt, für eine sehr große Spanne jedoch driftet.
Auflösen nach einem Druck
P₂ = P₁ · exp[ (ΔHvap/R)·(1/T₁ − 1/T₂) ]
Durch Neuanordnen für P₂ (oder P₁, durch Vertauschen der Indizes 1 und 2) wird die logarithmische Beziehung in eine direkte Exponentialfunktion umgewandelt – dies ist die Form, die auf der Registerkarte „Dampfdruck“ verwendet wird, um einen bekannten Druck auf eine neue Temperatur zu projizieren.
Auflösen nach ΔHvap
ΔHvap = R · ln(P₂/P₁) / (1/T₁ − 1/T₂)
Anhand zweier gemessener Dampfdruck-/Temperaturpunkte wird dadurch die Verdampfungsenthalpie isoliert – die Grundlage für die Registerkarte „Enthalpie“. Es erfordert T₁ ≠ T₂, da der Nenner sonst verschwindet.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Eine aus der Clapeyron-Gleichung und der idealen Gasnäherung für die Dampfphase abgeleitete Beziehung, die den Dampfdruck einer Substanz mit ihrer Temperatur und ihrer Verdampfungsenthalpie entlang der Koexistenzlinie zwischen Flüssigkeit und Dampf verknüpft.
Der Druck, den der Dampf eines Stoffes ausübt, wenn er bei einer bestimmten Temperatur im Gleichgewicht mit seiner Flüssigkeit (oder seinem Feststoff) steht. Sie steigt mit der Temperatur – exponentiell, nicht linear – für jede reine Substanz.
Die Energie (normalerweise in kJ/mol), die benötigt wird, um ein Mol einer Flüssigkeit bei konstantem Druck und ohne Temperaturänderung in Dampf umzuwandeln. Sie gibt an, wie stark sich die Moleküle eines Stoffes in der flüssigen Phase gegenseitig anziehen.
Ein Übergang zwischen physikalischen Zuständen einer Materie (z. B. flüssig zu gasförmig), bei dem die Substanz latente Wärme aufnimmt oder abgibt, während ihre Temperatur konstant bleibt. Verdampfung ist der Phasenübergang von Flüssigkeit zu Gas.
Die universelle Gaskonstante R = 8,314 J/(mol·K), eine Proportionalitätskonstante, die im idealen Gasgesetz und damit in der Clausius-Clapeyron-Gleichung vorkommt.
Die Temperatur, bei der der Dampfdruck einer Flüssigkeit dem umgebenden (normalerweise atmosphärischen) Druck entspricht, sodass sie in der gesamten Flüssigkeit und nicht nur an der Oberfläche verdampfen kann. Bei niedrigerem Umgebungsdruck sinkt er, weshalb Wasser in der Höhe unter 100 °C siedet.
In diesem Rechner wird immer die absolute Temperatur (Kelvin) angegeben. Die 1/T-Terme der Clausius-Clapeyron-Gleichung machen es ungültig, Celsius oder Fahrenheit direkt zu ersetzen – 0 °C ist nicht der gleiche Bruchteil von 0 K wie 0 °F einer auf Fahrenheit basierenden absoluten Skala.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Chemiestudent
Dampfdruck bei einer neuen Temperatur
P₁, T₁ 1 atm bei 373,15 K (normaler Siedepunkt von Wasser)T₂, ΔHvap 350 K, 40,7 kJ/mol
P₂ = 1 × exp[(40700/8,314)·(1/373,15 − 1/350)] ≈ 0,42 atm. Das Abkühlen von Wasser um etwa 23 K unter seinen Siedepunkt verringert seinen Dampfdruck um mehr als die Hälfte – die Exponentialform bedeutet, dass der Druck weitaus empfindlicher auf die Temperatur in der Nähe des Siedepunkts reagiert, als eine lineare Schätzung vermuten lässt.
🧪
Laborforscher
Auflösen nach ΔHvap aus zwei Datenpunkten
P₁, T₁ 1 atm, 350 KP₂, T₂ 2 atm, 375 K
ΔHvap = 8,314 × ln(2/1) / (1/350 − 1/375) ≈ 30.300 J/mol ≈ 30,3 kJ/mol. Die Messung des Dampfdrucks bei nur zwei Temperaturen reicht aus, um die Verdampfungsenthalpie ohne Kalorimetrie zu ermitteln.
🏔️
Wanderer plant eine Reise in große Höhen
Siedepunkt bei reduziertem Atmosphärendruck
P₁, T₁ 1 atm bei 373,15 K (Siedepunkt auf Meereshöhe)P₂, ΔHvap 0,6 atm (≈ 4.000 m Höhe), 40,7 kJ/mol
Das Auflösen nach T₂ auf der Registerkarte „Lösen“ ergibt ungefähr 359 K (≈ 86 °C) – Wasser siedet in dieser Höhe etwa 14 °C kühler, da es weniger Dampfdruck benötigt, um sich an den niedrigeren Umgebungsdruck anzupassen, weshalb die Kochzeiten in großen Höhen auch länger dauern.
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Quellenangabe
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APA und MLA▸
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Die Clausius-Clapeyron-Gleichung ist das Standardwerkzeug, um den Dampfdruck eines Stoffes mit seiner Temperatur in Verbindung zu bringen. Da diese Beziehung eher exponentiell als linear ist, können Sie mit der Kenntnis von nur zwei Druck-Temperatur-Punkten – plus der Verdampfungsenthalpie – den Druck bei jeder anderen Temperatur vorhersagen oder rückwärts arbeiten, um ΔHvap selbst zu ermitteln.
Wie die Gleichung funktioniert
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Die Gleichung ergibt sich aus der Kombination der exakten Clapeyron-Gleichung (die die Steigung der Flüssigkeit-Dampf-Koexistenzkurve mit der Entropie- und Volumenänderung der Verdampfung in Beziehung setzt) mit der idealen Gasnäherung für den Dampf und der Annahme, dass das Flüssigkeitsvolumen im Vergleich zum Dampfvolumen vernachlässigbar ist. Das Ergebnis ist eine saubere logarithmisch-lineare Beziehung: Die Auftragung von ln(P) gegen 1/T ergibt eine gerade Linie, deren Steigung −ΔHvap/R beträgt. Das ist genau das, was die hier verwendete Zweipunktform erfasst: Subtrahieren Sie die Gleichung an einem Punkt von der Gleichung an einem anderen, und die Integrationskonstante hebt sich auf.
Da ΔHvap als konstant behandelt wird, ist die Zweipunktform über einen bescheidenen Temperaturbereich am genauesten. Über einen sehr weiten Zeitraum driftet ΔHvap selbst mit der Temperatur (es geht am kritischen Punkt auf Null), sodass ein einzelner Durchschnittswert von ΔHvap einen gewissen Fehler mit sich bringt, je weiter T₂ von T₁ entfernt ist.
Eingaben und was sie bedeuten
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Druck (P₁, P₂) kann in jeder Einheit eingegeben werden – atm, mmHg, kPa, Torr – solange beide dieselbe Einheit verwenden, da nur ihr Verhältnis P₂/P₁ in die Gleichung eingeht. Temperatur (T₁, T₂) muss immer in Kelvin angegeben werden; Addieren Sie zunächst 273,15 zu einem Celsius-Wert. Die Verdampfungsenthalpie (ΔHvap) wird in Referenztabellen normalerweise in kJ/mol angegeben (Wasser hat in der Nähe seines Siedepunkts etwa 40,7 kJ/mol) – der Rechner rechnet intern in J/mol um, um R = 8,314 J/(mol·K) zu erreichen.
Grenzen und Randfälle
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Die Zweipunktform bricht zusammen, wenn T₁ gleich T₂ ist (es gibt keine Temperaturänderung, aus der sich ΔHvap berechnen lässt) oder wenn ΔHvap beim Auflösen nach einer Temperatur genau Null ist (die Gleichung kann T nicht isolieren). Außerdem wird davon ausgegangen, dass sich der Dampf ideal verhält und dass sich ΔHvap zwischen T₁ und T₂ nicht wesentlich ändert – beide Näherungen werden in der Nähe des kritischen Punktes einer Substanz schlechter, wo die Unterscheidung zwischen Flüssigkeit und Dampf vollständig verschwindet. Für Alltagsbereiche (deutlich unterhalb des kritischen Punktes) ist die Gleichung genau genug für den Einsatz im Labor und im Unterricht.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel für die Clausius-Clapeyron-Gleichung?+
ln(P₂/P₁) = −ΔHvap/R · (1/T₂ − 1/T₁), wobei P₁ und P₂ Dampfdrücke bei den absoluten Temperaturen T₁ und T₂ sind, ΔHvap die molare Verdampfungsenthalpie ist und R = 8,314 J/(mol·K).
Wie löse ich nach ΔHvap?+
Bei zwei gegebenen Dampfdruck-/Temperaturpunkten ist ΔHvap = R · ln(P₂/P₁) / (1/T₁ − 1/T₂). Auf der Registerkarte „Enthalpie“ erfolgt dies direkt über vier Eingaben: P₁, T₁, P₂, T₂.
Warum sinkt der Siedepunkt in großer Höhe?+
Zum Sieden kommt es, wenn der Dampfdruck einer Flüssigkeit dem umgebenden Atmosphärendruck entspricht. In der Höhe ist der Atmosphärendruck niedriger, sodass die Flüssigkeit einen niedrigeren Dampfdruck – und damit eine niedrigere Temperatur – benötigt, um zu kochen.
Muss die Temperatur in Kelvin angegeben werden?+
Ja. Die 1/T-Terme der Gleichung funktionieren nur auf einer absoluten Temperaturskala, daher müssen Celsius- oder Fahrenheit-Werte vor der Eingabe zunächst in Kelvin umgewandelt werden (K = °C + 273,15).
Was ist R in dieser Gleichung?+
R ist die universelle Gaskonstante, 8,314 J/(mol·K). Es handelt sich um dieselbe Konstante, die auch im idealen Gasgesetz verwendet wird, da die Clausius-Clapeyron-Gleichung davon ausgeht, dass sich die Dampfphase wie ein ideales Gas verhält.
Welche Einheiten verwendet der Rechner?+
Die Temperaturen betragen immer Kelvin. Der Druck kann jede beliebige Einheit sein, solange P₁ und P₂ ihn teilen, da nur ihr Verhältnis zählt. Die Verdampfungsenthalpie kann in kJ/mol (gängige Konvention) oder J/mol eingegeben werden.
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