Einheitskreisrechner

Zeichnen Sie einen Kreis mit dem Radius 1, der im Ursprung der Koordinatenebene zentriert ist. Beginnen Sie mit der positiven x-Achse und streichen Sie gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel θ. Wo auch immer dieser Sweep – die Endseite des Winkels – den Kreis kreuzt, ist der Punkt (cos θ, sin θ). Da der Kreis den Radius 1 hat, ist die x-Koordinate dieses Punktes als cos θ und die y-Koordinate als sin θ definiert. Dies ist eine direkte Erweiterung der rechtwinkligen Dreieckdefinitionen von Sinus und Kosinus (Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse) auf Winkel beliebiger Größe, einschließlich Winkel über 90° und negativer Winkel, bei denen ein rechtwinkliges Dreieck für sich genommen keinen Sinn mehr ergibt.

Der Tangens folgt direkt als sin θ / cos θ, die Steigung des endseitigen Strahls. Da der Einheitskreis den Radius 1 hat, ist keine Division durch die Hypotenuse erforderlich – die Koordinaten sind die trigonometrischen Werte.

Anstatt separate genaue Werte für jeden Winkel um den Vollkreis herum zu speichern, verwendet die Trigonometrie Referenzwinkel: Jeder Winkel wird auf einen spitzen Winkel (0°–90°) im Quadranten I zurückgeführt, und das Vorzeichen wird dadurch bestimmt, in welchen Quadranten der ursprüngliche Winkel fällt. Die klassische Gedächtnisstütze lautet All-STangent-Cosinus („Alle Schüler lernen Infinitesimalrechnung“): In Quadrant I sind alle drei Funktionen positiv; im Quadranten II ist nur der Sinus positiv; in Quadrant III ist nur die Tangente positiv; in Quadrant IV ist nur der Kosinus positiv.

210° (Quadrant III) hat also denselben Referenzwinkel wie 30°, und sein Kosinus und sein Sinus sind beide negativ, da der Tangens allein in Quadrant III positiv ist – cos(210°) = -cos(30°) und sin(210°) = -sin(30°).

Jedes Vielfache von 30° und 45° um den Kreis – insgesamt 16 Winkel, einschließlich der vier Achsenwinkel 0°/90°/180°/270° – hat einen exakten symbolischen (cos, sin) Wert, der von zwei speziellen rechtwinkligen Dreiecken abgeleitet ist: dem 30-60-90-Dreieck (ergibt 1/2 und √3/2) und dem 45-45-90-Dreieck (ergibt √2/2 für beide). Jeder Winkel außerhalb dieses Satzes von 16 hat keine saubere symbolische Form und wird als dezimale Näherung belassen – die Registerkarte „Exakte Werte“ dieses Rechners macht diese Unterscheidung deutlich, anstatt einen irreführenden gerundeten Bruch anzuzeigen.

Der Tangens ist bei 90° und 270° (und jedem damit koterminalen Winkel) undefiniert, da der Kosinus dort 0 ist, was eine Division durch Null erfordern würde – dieser Rechner meldet „undefiniert“ und nicht einen Fehler oder eine unendliche Dezimalzahl. Gleitkomma-Rundung bedeutet auch, dass eine Bogenmaß-Eingabe, die aus einem exakten Gradwert (wie π/2) konvertiert wurde, cos als eine extrem kleine Zahl ungleich Null anstelle einer mathematisch perfekten 0 berechnen kann; Die Suche nach exakten Werten des Rechners umgeht dies, indem sie mit den echten symbolischen Werten und nicht mit der rohen Gleitkommaausgabe vergleicht.