Die sechs trigonometrischen Funktionen beschreiben die Beziehung zwischen einem Winkel und den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks – oder allgemeiner zwischen einem Winkel und einem Punkt auf dem Einheitskreis. Dieser Rechner verarbeitet beide Richtungen: die Umwandlung eines Winkels in alle sechs Funktionswerte und die Umwandlung eines bekannten Verhältnisses zurück in einen Winkel mit den Umkehrfunktionen.

Vom rechtwinkligen Dreieck zum Einheitskreis

Trigonometrie beginnt mit SOH-CAH-TOA: Sinus liegt gegenüber der Hypotenuse, Cosinus liegt gegenüber der Hypotenuse, Tangens liegt gegenüber der Nachbarkathete. Diese Definition funktioniert jedoch nur für Winkel zwischen 0° und 90°, da ein rechtwinkliges Dreieck keinen Winkel von 180° oder −45° haben kann. Die Einheitskreisdefinition erweitert die Funktionen auf jeden reellen Winkel: Sinus ist die y-Koordinate und Kosinus die x-Koordinate des Punktes, an dem der Strahl des Winkels auf einen Kreis mit Radius 1 trifft, und Tangens ist ihr Verhältnis. Aus diesem Grund liegen Sinus und Cosinus immer zwischen −1 und 1 (die Koordinaten des Kreises überschreiten diesen Bereich nie), während der Tangens eine beliebige reelle Zahl sein kann.

Warum manche Funktionen in bestimmten Winkeln undefiniert sind

Tangens, Sekante und Kotangens werden alle als Verhältnisse definiert, und ein Verhältnis ist undefiniert, wenn sein Nenner Null ist. Tangens (sin/cos) und Sekante (1/cos) zerfallen überall dort, wo der Kosinus gleich Null ist – bei 90°, 270° und danach alle 180°. Kotangens (cos/sin) und Kosekans (1/sin) zerfallen überall dort, wo der Sinus gleich Null ist – bei 0°, 180°, 360° usw. Grafisch gesehen sind dies die vertikalen Asymptoten, die Sie auf einer Tangenten- oder Sekantenkurve sehen: Die Funktion schießt in Richtung positiver oder negativer Unendlichkeit, wenn sich der Winkel dem undefinierten Punkt nähert, erreicht dort jedoch nie einen Wert.

Warum inverser Trigonomiefaktor einen eingeschränkten Bereich hat

Da Sinus und Cosinus immer nur Werte zwischen −1 und 1 ausgeben, können ihre Umkehrfunktionen (sin⁻¹ und cos⁻¹) nur Eingaben im gleichen Bereich akzeptieren – es gibt keinen Winkel, dessen Sinus 2 ist, also existiert sin⁻¹(2) einfach nicht. Für den Arcustangens gilt diese Einschränkung nicht, da der Ausgabebereich des Tangens ausschließlich aus reellen Zahlen besteht und tan⁻¹ daher jeden Wert akzeptiert. Eine zweite Feinheit: Sinus und Kosinus sind periodisch, daher haben unendlich viele Winkel den gleichen Sinuswert (30°, 150°, 390°, …). Umkehrfunktionen geben genau einen davon zurück – den „Hauptwert“ – der für sin⁻¹ immer zwischen −90° und 90°, für cos⁻¹ zwischen 0° und 180° und für tan⁻¹ streng zwischen −90° und 90° liegt.

Grad vs. Bogenmaß

Grade teilen einen Kreis in 360 gleiche Teile, eine Konvention, die auf die altbabylonische Astronomie zurückgeht. Das Bogenmaß misst den Winkel anhand der Bogenlänge: Ein Bogenmaß ist der Winkel, bei dem die Bogenlänge dem Radius entspricht, was 2π Bogenmaß pro Vollkreis ergibt. Das Bogenmaß ist die natürliche Einheit in der Analysis und Physik, weil es Ableitungs- und Reihenformeln für Sinus und Cosinus sauber vereinfacht, während Grad die alltägliche Einheit für Navigation, Konstruktion und die meisten Lehrbuchgeometrien bleibt. Dieser Rechner akzeptiert und zeigt beides an, sodass Sie in der Einheit arbeiten können, die Ihr Quellmaterial verwendet.