Mit dem Sinusgesetz können Sie jedes Dreieck lösen – nicht nur rechtwinklige Dreiecke –, solange Sie ein Winkel-Seiten-Paar plus einen weiteren Wert kennen. Dieser Rechner behandelt die beiden Fälle, in denen diese Formel direkt gilt (ASA/AAS und SSA), und markiert insbesondere den einen Fall, SSA, in dem dieselben Eingaben zwei völlig unterschiedliche gültige Dreiecke beschreiben können.

So funktioniert der Sinusgesetz-Rechner

Jedes Dreieck gehorcht a/sinA = b/sinB = c/sinC – das Verhältnis jeder Seite zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels ist über das gesamte Dreieck hinweg konstant. Im Modus „Zwei Winkel + Seite“ fällt der dritte Winkel sofort aus der 180°-Winkelsumme heraus und dieses konstante Verhältnis ergibt dann direkt die beiden verbleibenden Seiten. Dieser Fall ist niemals zweideutig: Zwei Winkel und eine Seite bestimmen die genaue Größe und Form des Dreiecks, ohne dass Platz für eine zweite Antwort ist.

Im Modus „Zwei Seiten + Winkel“ (SSA) berechnet der Rechner sin(B) = b·sinA/a für den zweiten Winkel. Da der Sinus sowohl im ersten als auch im zweiten Quadranten positiv ist, gibt es im Allgemeinen zwei mathematisch gültige Winkel, die diese Gleichung erfüllen – B selbst und seine Ergänzung 180° − B. Der Rechner prüft beide: Eine Ergänzung ist nur dann eine gültige zweite Lösung, wenn die Addition zum Winkel A immer noch die Summe unter 180° ergibt. Das ist der Mechanismus hinter null, einer oder zwei Lösungen.

Eingaben und was sie bedeuten

Winkel A und Winkel B werden in Grad eingegeben. Seite a liegt immer gegenüber von Winkel A und Seite b immer gegenüber von Winkel B – der Rechner verwendet diese Konvention durchgehend, unabhängig davon, ob Sie sich im ASA/AAS-Modus (Winkel A, Winkel B, Seite a) oder im SSA-Modus (Seite a, Seite b, Winkel A) befinden. Es kommt darauf an, die Gegenseitenpaarung richtig zu machen: Der Austausch, welche Seite „entgegengesetzt“ ist und welcher Winkel die gesamte Lösung ändert.

Speziell im SSA-Modus bestimmt die Beziehung zwischen Seite a, Seite b und der Höhe h = b·sinA das Ergebnis: Wenn a < h, existiert kein Dreieck (Seite a ist zu kurz, um Seite b jemals zu erreichen); wenn a = h genau, gibt es genau ein Dreieck und es hat zufällig einen rechten Winkel bei B; wenn h < a < b, gibt es zwei gültige Dreiecke; und wenn a ≥ b, gibt es genau ein Dreieck, weil der zusätzliche Winkel die Winkelsumme über 180° hinausschieben würde.

Grenzen und Randfälle

Dieser Rechner löst ebene (euklidische) Dreiecke mit exakten Eingabewerten – er modelliert weder Messunsicherheit noch sphärische Geometrie (wie sie beispielsweise bei einigen Navigations- und Astronomieproblemen verwendet wird). Wenn Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen (SAS) oder alle drei Seiten (SSS) kennen, kann das Sinusgesetz das Dreieck nicht direkt lösen – in diesen Fällen muss das Kosinusgesetz zuerst einen weiteren Winkel oder eine weitere Seite finden, bevor das Sinusgesetz übernehmen kann.

Der mehrdeutige SSA-Fall ist ein echtes Merkmal der Mathematik, kein Fehler: Mit nur Seiten-Seite-Winkel-Informationen erfüllen zwei verschiedene Dreiecke tatsächlich die gleichen Maße. Der reale Kontext – ein zusätzlicher Winkelbereich, ein Diagramm oder die modellierte physische Situation – sagt Ihnen, welche der beiden Lösungen die richtige ist.