Mit dem Kosinusgesetz können Sie ein Dreieck lösen, wenn Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen (SAS) oder alle drei Seiten (SSS) kennen – die beiden Fälle kann das Sinusgesetz nicht direkt behandeln, da keiner von beiden ein fertiges Winkel-Seiten-Paar liefert. Dieser Rechner sucht nach der fehlenden Seite oder dem fehlenden Winkel und verkettet dann dieselbe Identität, um den Rest des Dreiecks und seine Fläche auszufüllen.

So funktioniert der Kosinusgesetz-Rechner

Das Kosinusgesetz c² = a² + b² − 2ab·cosC setzt die drei Seiten eines Dreiecks auf den Kosinus des Winkels gegenüber der Seite c. Im SAS-Modus ist C der bekannte eingeschlossene Winkel zwischen den Seiten a und b, sodass die direkte Eingabe in die Formel die Seite c ergibt. Im SSS-Modus sind alle drei Seiten bekannt und die Formel wird neu geordnet, um stattdessen nach dem Winkel zu suchen: cosC = (a² + b² − c²) / (2ab).

Sobald eine Unbekannte gelöst ist, ermittelt der Rechner die verbleibenden zwei Winkel erneut mithilfe des Kosinusgesetzes (nicht des Sinusgesetzes) – zum Beispiel A = acos((b²+c²−a²)/(2bc)), dann B = 180° − A − C. Die Verwendung des Kosinusgesetzes für jeden Winkel vermeidet das Mehrdeutigkeitsproblem, das das Sinusgesetz mit seiner zweiwertigen Sinusfunktion hat: Die Umkehrung des Kosinus ist über den Winkelbereich von 0°–180° eines Dreiecks einwertig, sodass es nie einen zweiten Kandidatenwinkel gibt, den man ausschließen kann.

Eingaben und was sie bedeuten

Im SAS-Modus muss Winkel C der eingeschlossene Winkel sein – der direkt zwischen den Seiten a und b, nicht gegenüber einer von ihnen. Die Eingabe eines Winkels, der einer Seite gegenüberliegt statt zwischen zwei Seiten, ist der SSA-Fall, den das Kosinusgesetz nicht direkt lösen kann (der das Sinusgesetz benötigt und das Risiko von Mehrdeutigkeiten birgt, das das SAS/SSS-Design dieses Rechners vollständig vermeidet).

Im SSS-Modus müssen alle drei Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen – jedes Seitenpaar muss mehr als die dritte Seite ergeben (a+b>c, a+c>b, b+c>a). Ist dies nicht der Fall, liegt bei diesen Messungen kein Dreieck vor und der Rechner markiert dies, anstatt ein bedeutungsloses Ergebnis zurückzugeben.

Grenzen und Randfälle

Dieser Rechner löst ebene (euklidische) Dreiecke mit genauen Eingabewerten – er modelliert weder die Messunsicherheit noch die sphärische Geometrie (die bei einigen Navigations- und Astronomieproblemen verwendet wird). Wenn Sie stattdessen ein Winkel-Seiten-Paar plus einen weiteren Wert (ASA, AAS oder SSA) kennen, ist das Kosinusgesetz nicht das richtige Werkzeug – verwenden Sie das Sinusgesetz, das möglicherweise auch den mehrdeutigen SSA-Fall kennzeichnen muss.

Ein Dreieck, das die SSS-Ungleichung kaum erfüllt, oder ein SAS-Winkel sehr nahe bei 0° oder 180°, erzeugt ein gültiges, aber nahezu entartetes Dreieck – eines, das so „flach“ ist, dass seine Fläche nahe daran liegt Null. Der Rechner löst diese Probleme immer noch korrekt, anstatt sie abzulehnen, markiert das Ergebnis jedoch, sodass Sie Ihre Eingaben noch einmal überprüfen können, wenn dies unerwartet ist.