Doppelwinkelrechner

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Schritt für Schritt

So verwenden Sie diesen Rechner

4 Schritte

1

Wählen Sie Ihren Ausgangspunkt

Wählen Sie die Registerkarte „Aus Winkel“, wenn Sie θ in Grad oder Bogenmaß kennen, oder die Registerkarte „Aus Sin/Cos“, wenn Sie sinθ und cosθ bereits direkt haben (zum Beispiel aus einem Dreiecksproblem, das Ihnen nie den Winkel selbst liefert).

2

Geben Sie Ihre Werte ein

Geben Sie unter „Aus Winkel“ θ ein und wählen Sie „Grad“ oder „Bogenmaß“. Geben Sie unter Sin/Cos sinθ und cosθ ein (jeweils zwischen -1 und 1). Der Rechner aktualisiert sich sofort, während Sie tippen.

3

Lesen Sie sin2θ, cos2θ und tan2θ

Die Ergebniskarte zeigt sin2θ und cos2θ, mit tan2θ und einer vollständigen Aufschlüsselung unten. Die schrittweise Ableitung auf der Registerkarte „Aus Winkel“ zeigt genau, wie jeder Wert in die Identität eingesetzt wurde.

4

Überprüfen Sie die Registerkarte „Halber Winkel“.

Benötigen Sie die entgegengesetzte Richtung – sin(θ/2), cos(θ/2), tan(θ/2) von θ – anstatt sie zu verdoppeln? Wechseln Sie zur Registerkarte Halber Winkel und geben Sie denselben θ ein.

⚡

Grundlagen

Formel und Methodik

4 Formeln

Doppelwinkelidentität für Sinus

sin(2θ) = 2 sinθ cosθ

Abgeleitet durch Erweitern von sin(θ + θ) mit der Winkeladditionsformel sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB und Setzen von A = B = θ.

Doppelwinkelidentität für Kosinus (drei äquivalente Formen)

cos(2θ) = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ

Alle drei Formen sind algebraisch identisch (mit sin²θ + cos²θ = 1 als Ersatz). Verwenden Sie die Form, die der Variablen entspricht, die Sie bereits kennen – z. B. 2cos²θ − 1, wenn Sie nur cosθ haben.

Doppelwinkelidentität für Tangente

tan(2θ) = 2tanθ / (1 − tan²θ)

Abgeleitet durch Division der Sinusidentität durch die Kosinusidentität. Undefiniert, wenn tanθ undefiniert ist (θ = 90° + 180°n) oder wenn 1 − tan²θ = 0 (θ = 45° + 90°n), da 2θ dann auf den eigenen undefinierten Punkten des Kosinus landet.

Halbwinkelidentitäten

sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ)/2) · cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)

Abgeleitet durch Lösen der Identität cos(2θ) = 1 − 2sin²θ nach sinθ (Ersetzen von θ durch θ/2). Das Vorzeichen hängt davon ab, in welchen Quadranten θ/2 fällt; Dieser Rechner löst es automatisch anhand des von Ihnen eingegebenen θ auf.

📖

Glossar

Wichtige Begriffe erklärt

6 Begriffe

Ein Winkel ausgedrückt als 2θ – das Doppelte eines Referenzwinkels θ. Mit Doppelwinkelidentitäten können Sie sin(2θ), cos(2θ) und tan(2θ) direkt aus sinθ, cosθ und tanθ berechnen, ohne jemals 2θ selbst zu finden.

Eine Gleichung mit trigonometrischen Funktionen, die für jeden Wert des Winkels gilt (innerhalb des Bereichs, in dem beide Seiten definiert sind). Doppel- und Halbwinkelformeln sind aus den Winkeladditionsformeln abgeleitete Identitäten.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist sinθ das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite θ zur Hypotenuse. Auf dem Einheitskreis ist sinθ die y-Koordinate des Punktes im Winkel θ.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist cosθ das Verhältnis der an θ angrenzenden Seite zur Hypotenuse. Auf dem Einheitskreis ist cosθ die x-Koordinate des Punktes im Winkel θ.

tanθ = sinθ / cosθ. Es ist überall dort undefiniert, wo cosθ = 0 (θ = 90°, 270° und alle 180° danach).

Ein Winkel ausgedrückt als θ/2 – die Hälfte eines Referenzwinkels θ. Halbwinkelidentitäten drücken sin(θ/2), cos(θ/2) und tan(θ/2) allein durch cosθ aus, was die umgekehrte Operation der Doppelwinkelformeln ist.

👥

Beispiele

Beispiele aus der Praxis

3 Praxisbeispiele

📐

Student

θ = 30° über die Registerkarte „Von Winkel“.

θ 30°

sinθ = 0,5 und cosθ = 0,8660, also sin2θ = 2(0,5)(0,8660) = 0,8660 und cos2θ = 0,75 − 0,25 = 0,5. Dies entspricht genau sin(60°) = 0,8660 und cos(60°) = 0,5 – 2θ = 60° – und bestätigt die Identität, ohne jemals 60° direkt zu berechnen.

🧮

Problemstellung

sinθ = 0,5, cosθ = 0,8660 über Von sin/cos

Sündeθ 0.5 cosθ 0.8660

Derselbe zugrunde liegende Winkel wie im vorherigen Beispiel, aber direkt als sinθ/cosθ-Paare eingegeben – die Art von Werten, die man aus einem Dreiecks- oder Vektorproblem erhält, bei dem θ niemals in Grad angegeben wird. sin2θ = 0,8660 und cos2θ = 0,5 sind identisch, da die Identitäten nur sinθ und cosθ benötigen, nicht θ selbst.

🔄

Rückwärtsscheck

θ = 60° über die Registerkarte Halber Winkel

θ 60°

Die Einspeisung von 60° in die Registerkarte „Halber Winkel“ ergibt sin(30°) = 0,5 und cos(30°) = 0,8660 – die genaue Umkehrung des ersten Beispiels oben. Doppelwinkel- und Halbwinkelidentitäten sind zwei Richtungen derselben Beziehung: Eine Verdoppelung von 30° ergibt 60° und eine Halbierung von 60° ergibt 30° zurück.

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Quellenangabe

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Hintergrundwissen

Doppelwinkelidentitäten verstehen

3 Kapitel · 4 Min. Lesezeit

Mit den Doppelwinkelformeln können Sie sin(2θ), cos(2θ) und tan(2θ) allein aus sinθ, cosθ und tanθ ermitteln – Sie müssen 2θ nicht berechnen oder einen neuen Winkel in einer trigonometrischen Tabelle nachschlagen. Sie tauchen ständig in der Analysis (Vereinfachung von Integralen), in der Physik (Formeln für die Reichweite von Projektilen) und bei allen Geometrieproblemen auf, bei denen ein Winkel verdoppelt wird.

Woher die Identitäten kommen

Jede Doppelwinkelidentität ist ein Sonderfall der Winkeladditionsformeln. Ausgehend von sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB ergibt die Einstellung A = B = θ sin(2θ) = 2 sinθ cosθ. Die gleiche Substitution in cos(A + B) = cosA cosB − sinA sinB ergibt cos(2θ) = cos²θ − sin²θ. Da sin²θ + cos²θ = 1 ist, kann diese Kosinusform auf zwei weitere Arten umgeschrieben werden – 2cos²θ − 1 oder 1 − 2sin²θ – weshalb der Rechner alle drei auflistet: Wählen Sie denjenigen aus, der mit dem Wert übereinstimmt, den Sie bereits haben.

Vom Winkel vs. Von sin/cos

Verwenden Sie die Registerkarte „Von Winkel“, wenn Sie θ selbst haben, in Grad oder Bogenmaß. Verwenden Sie die Registerkarte „Von sin/cos“, wenn ein Problem sinθ und cosθ direkt liefert – häufig bei Vektor- und Dreiecksproblemen, bei denen θ nie als Zahl angegeben wurde. Beide Registerkarten erzeugen die gleichen sin2θ/cos2θ/tan2θ-Werte, wenn sie den gleichen Winkel beschreiben; Der Rechner markiert Sin/Cos-Paare, die sin²θ + cos²θ = 1 nicht erfüllen, da dies bedeutet, dass sie nicht beide aus einem realen Winkel stammen können.

Halbwinkelidentitäten und wenn die Tangente undefiniert ist

Auf der Registerkarte „Halber Winkel“ wird die Beziehung umgekehrt ausgeführt: Bei gegebenem θ werden sin(θ/2), cos(θ/2) und tan(θ/2) zurückgegeben. Achten Sie auf undefinierte Ergebnisse – tanθ ist bei θ = 90° und 270° (wobei cosθ = 0) undefiniert, und tan(2θ) ist separat bei θ = 45° und 135° (wobei 1 − tan²θ = 0) undefiniert, da 2θ dann genau auf 90° oder 270° landet. In diesen Fällen zeigt der Rechner „undefiniert“ anstelle eines Fehlers oder eines Unendlichkeitssymbols an.

❓

Fragen

Häufig gestellte Fragen

6 Fragen

Wie lautet die Formel für sin(2θ)?+

sin(2θ) = 2 sinθ cosθ. Es ergibt sich aus der Einstellung A = B = θ in der Winkeladditionsidentität sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB.

Wie lautet die Formel für cos(2θ)?+

cos(2θ) hat drei äquivalente Formen: cos²θ − sin²θ, 2cos²θ − 1 und 1 − 2sin²θ. Alle drei ergeben die gleiche Zahl – verwenden Sie den Wert, der dem bereits bekannten Wert entspricht (z. B. 2cos²θ − 1, wenn Sie nur cosθ haben).

Kann ich sin(2θ) und cos(2θ) berechnen, ohne θ selbst zu kennen?+

Ja – verwenden Sie die Registerkarte Von sin/cos und geben Sie sinθ und cosθ direkt ein. Die Doppelwinkelidentitäten benötigen nur sinθ und cosθ, Sie müssen also nie θ oder 2θ als tatsächlichen Winkelwert ermitteln.

In welcher Beziehung steht die Halbwinkellasche zu den Doppelwinkellaschen?+

Es handelt sich um inverse Operationen. Doppelwinkelidentitäten nehmen θ an und geben Werte für 2θ zurück; Halbwinkelidentitäten nehmen θ an und geben Werte für θ/2 zurück. Wenn Sie auf der Registerkarte „Halber Winkel“ 60° eingeben, werden sin(30°) und cos(30°) zurückgegeben – die Umkehrung der Verdoppelung von 30°, um 60° zu erhalten.

Spielt es eine Rolle, ob ich den Winkel in Grad oder im Bogenmaß eingebe?+

Nein – wählen Sie aus der Dropdown-Liste neben dem Winkelfeld die Einheit aus, die Ihr Problem verwendet. Der Rechner rechnet intern um, sodass sinθ, cosθ, sin2θ und cos2θ in beiden Richtungen identisch sind.

Wie lautet die Formel für tan(2θ) und warum wird manchmal „undefiniert“ angezeigt?+

tan(2θ) = 2tanθ / (1 − tan²θ). Es ist immer dann undefiniert, wenn tanθ selbst undefiniert ist (θ = 90°, 270°, ...) oder wenn 1 − tan²θ = 0 (θ = 45°, 135°, ...), da 2θ dann genau auf einen Punkt fällt, an dem der Kosinus Null ist.

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Winkel θ

Ergebnis mit doppeltem Winkel

sinθ & cosθ

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