Mit den Doppelwinkelformeln können Sie sin(2θ), cos(2θ) und tan(2θ) allein aus sinθ, cosθ und tanθ ermitteln – Sie müssen 2θ nicht berechnen oder einen neuen Winkel in einer trigonometrischen Tabelle nachschlagen. Sie tauchen ständig in der Analysis (Vereinfachung von Integralen), in der Physik (Formeln für die Reichweite von Projektilen) und bei allen Geometrieproblemen auf, bei denen ein Winkel verdoppelt wird.
Woher die Identitäten kommen
Jede Doppelwinkelidentität ist ein Sonderfall der Winkeladditionsformeln. Ausgehend von sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB ergibt die Einstellung A = B = θ sin(2θ) = 2 sinθ cosθ. Die gleiche Substitution in cos(A + B) = cosA cosB − sinA sinB ergibt cos(2θ) = cos²θ − sin²θ. Da sin²θ + cos²θ = 1 ist, kann diese Kosinusform auf zwei weitere Arten umgeschrieben werden – 2cos²θ − 1 oder 1 − 2sin²θ – weshalb der Rechner alle drei auflistet: Wählen Sie denjenigen aus, der mit dem Wert übereinstimmt, den Sie bereits haben.
Vom Winkel vs. Von sin/cos
Verwenden Sie tan(2θ) = sin(2θ)/cos(2θ). Der Wert ist nur bei cos(2θ)=0, also θ=45°+90°n, nicht definiert. Bei θ=90° ist tan θ nicht definiert, aber tan(2θ)=0. Sinus-/Kosinuspaare müssen die Einheitskreisidentität erfüllen; andernfalls ist die ausdrückliche Normalisierung zu wählen.
Halbwinkelidentitäten und wenn die Tangente undefiniert ist
Verwenden Sie tan(2θ) = sin(2θ)/cos(2θ). Der Wert ist nur bei cos(2θ)=0, also θ=45°+90°n, nicht definiert. Bei θ=90° ist tan θ nicht definiert, aber tan(2θ)=0. Sinus-/Kosinuspaare müssen die Einheitskreisidentität erfüllen; andernfalls ist die ausdrückliche Normalisierung zu wählen.