Berechnen Sie die Bogenlänge und die Sektorfläche eines Kreises aus dem Radius und dem Mittelpunktswinkel oder lösen Sie stattdessen nach dem Radius oder dem Winkel auf.
Eingaben
Wählen Sie oben aus, was gelöst werden soll – die Eingabe, die zum Unbekannten wird, wird automatisch ausgeblendet.
Bogenlänge
—
Geben Sie oben einen Radius und einen Winkel zur Berechnung ein.
Bogenlänge—
Branchenbereich—
Voller Umfang (2πr)—
Bogen – Seilraum—
Bogen X, Sektorfläche Y.
Sektordiagramm
Aufgelöste Werte
—
Geben Sie zur Berechnung die oben genannten Werte ein.
Radio—
Mittelpunktswinkel—
Bogenlänge—
Berechnen Sie den Radius oder Winkel mithilfe der Auswahl oben.
Akkordlänge
—
Geben Sie zur Berechnung die oben genannten Werte ein.
Akkordlänge—
Radius verwendet—
Winkel verwendet—
Der geradlinige Abstand zwischen den beiden Endpunkten des Bogens.
4 Min. Lesezeit3 Schritte6 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragens = rθ
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Geben Sie den Radius und den Mittelpunktswinkel ein
Geben Sie den Radius des Kreises und den Mittelpunktswinkel ein, der den zu messenden Bogen überstreicht. Wählen Sie Grad oder Bogenmaß aus der Einheitenauswahl neben dem Winkelfeld – der Rechner rechnet intern um, sodass Sie diese Berechnungen nie von Hand durchführen müssen.
2
Lesen Sie die Bogenlänge und die Sektorfläche ab
Die Registerkarte „Bogen & Sektor“ wird sofort aktualisiert: Die Überschriftennummer ist die Bogenlänge (s = rθ) und die Detailzeile zeigt die Sektorfläche (½r²θ) und die Sehnenlänge zusammen. Wechseln Sie zur Registerkarte „Sehne“, um eine spezielle Anzeige des geradlinigen Abstands zwischen den beiden Endpunkten des Bogens zu erhalten.
3
Oder lösen Sie rückwärts nach Radius oder Winkel auf
Wenn Sie die Bogenlänge bereits kennen und stattdessen den Radius oder den Winkel möchten, verwenden Sie oben das Dropdown-Menü „Auflösen nach“. Wenn Sie „Radius“ wählen, wird das Feld „Radius“ durch ein Feld für die Bogenlänge ersetzt. Die Auswahl von „Winkel“ bewirkt dasselbe für das Winkelfeld. Auf der Registerkarte „Lösen“ wird dann angezeigt, nach welchem Wert Sie suchen.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Bogenlänge
s = rθ
Die Bogenlänge s entspricht dem Radius r multipliziert mit dem Mittelpunktswinkel θ, gemessen im Bogenmaß. Dies ist die Definition eines Bogenmaßes: Ein Bogenmaß ist der Winkel, der einen Bogen genau so lang wie der Radius überstreicht, sodass die Multiplikation mit r diese Beziehung einfach vergrößert. Wenn Ihr Winkel in Grad angegeben ist, konvertieren Sie ihn zuerst mit θ(rad) = θ(deg) × π/180.
Sektorbereich
A = ½r²θ
Ein Kreissektor ist der tortenstückförmige Bereich, der durch die beiden Radien und den Bogen begrenzt wird. Seine Fläche ist die Hälfte des Radius im Quadrat mal dem Zentralwinkel im Bogenmaß – die gleiche ½r²θ-Form wie die Vollkreisflächenformel πr² (was nur der θ = 2π-Sonderfall ist: ½r²(2π) = πr²).
Akkordlänge
c = 2r·sin(θ/2)
Die Sehne ist die gerade Linie, die die beiden Endpunkte des Bogens verbindet, im Gegensatz zum gekrümmten Bogen selbst. Es ergibt sich aus der Aufteilung des gleichschenkligen Dreiecks, das aus den beiden Radien und der Sehne besteht, in zwei rechtwinklige Dreiecke: Jede Halbsehne ist r·sin(θ/2), die ganze Sehne ist also doppelt so groß.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
6 Begriffe▸
Der Abstand entlang des gekrümmten Teils eines Kreises zwischen zwei Punkten, im Gegensatz zum geradlinigen Abstand (Sehnenabstand) zwischen denselben beiden Punkten. Berechnet als s = rθ mit θ im Bogenmaß.
Der tortenstückförmige Bereich eines Kreises, der von zwei Radien und dem dazwischen liegenden Bogen begrenzt wird. Seine Fläche beträgt ½r²θ.
Der Winkel, der im Mittelpunkt des Kreises durch die beiden Radien gebildet wird, die einen Sektor oder Bogen begrenzen. Kann in Grad oder Bogenmaß gemessen werden – dieser Rechner akzeptiert und rechnet beides um.
Die SI-Winkeleinheit ist so definiert, dass ein Winkel von 1 Bogenmaß einen Bogen überstreicht, dessen Länge dem Radius entspricht. Ein Vollkreis hat 2π Bogenmaß (ca. 6,283), was 360° entspricht, also 1 Bogenmaß ≈ 57,296°.
Ein gerades Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Im Gegensatz zum Bogen, der der Kurve folgt, ist die Sehne der kürzeste (gerade) Weg zwischen den beiden Punkten: c = 2r·sin(θ/2).
Ein anderer Name für einen Sektor – der von einem Bogen und den beiden Radien an seinen Enden umschlossene Bereich, der üblicherweise als ein Stück Kuchen oder Pizza dargestellt wird.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Vorwärtsberechnung
Radius 5, Mittelpunktswinkel 60°
Radius 5Zentraler Winkel 60°
Die Umrechnung von 60° in Bogenmaß ergibt θ = 60 × π/180 ≈ 1,0472 rad. Bogenlänge = 5 × 1,0472 ≈ 5,236 Einheiten. Sektorfläche = ½ × 5² × 1,0472 ≈ 13,09 Quadrateinheiten. Sehnenlänge = 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 Einheiten – beachten Sie, dass die Sehne (5) kürzer als der Bogen (5,236) ist, wie dies bei jedem Winkel, der kleiner als ein Vollkreis ist, immer der Fall ist, da eine gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist.
Das Umordnen von s = rθ ergibt r = s / θ. Mit θ = 60° ≈ 1,0472 rad, Radius = 5,236 / 1,0472 ≈ 5,000. Dies ist genau das Gegenteil des ersten Beispiels – nützlich, wenn Sie die Länge eines Bogens auf dem Feld (z. B. einen gekrümmten Straßen- oder Gleisabschnitt) und den Winkel, den er durchquert, gemessen haben, aber den Radius der Kurve ermitteln müssen, auf der er liegt.
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Akkord aus einem breiteren Schwung
Radius 10, Mittelpunktswinkel 90°
Radius 10Zentraler Winkel 90°
Bei 90° (ein Viertelkreis) ist θ = π/2 ≈ 1,5708 rad. Bogenlänge = 10 × 1,5708 ≈ 15,71 Einheiten. Sehnenlänge = 2 × 10 × sin(45°) ≈ 20 × 0,7071 ≈ 14,14 Einheiten. Hier ist die Lücke zwischen Bogen und Sehne viel deutlicher sichtbar als im 60°-Beispiel – je größer der Winkel, desto mehr ragt der gekrümmte Bogen über die gerade Sehne hinaus, bis bei einem vollständigen 360°-Schwung die Sehne wieder auf 0 schrumpft, während der Bogen dem gesamten Umfang entspricht.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
Verwenden Sie eines dieser Formate, um diesen Rechner in einer Arbeit, einem Bericht oder einer Literaturliste zu zitieren.
Ein Bogen ist nur ein Teil des Umfangs eines Kreises, und sobald Sie den Radius und den Mittelpunktswinkel kennen, der ihn definiert, fallen sofort drei zusammengehörige Messungen auf: wie lang der Bogen selbst ist, wie viel Fläche der tortenstückförmige Sektor abdeckt und wie weit die beiden Endpunkte des Bogens in einer geraden Linie (der Sehne) voneinander entfernt sind. Dieser Rechner berechnet alle drei aus Radius und Winkel und kann auch rückwärts arbeiten, um den Radius oder den Winkel zu ermitteln, wenn Sie die Bogenlänge bereits kennen.
So funktioniert der Bogenlängenrechner
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Die Kernbeziehung ist s = rθ, wobei θ im Bogenmaß angegeben werden muss – dies ist buchstäblich die Definition eines Bogenmaßes, da ein Bogenmaß der Winkel ist, der einen Bogen beschreibt, der genau so lang ist wie der Radius. Wenn Sie Ihren Winkel in Grad eingeben, rechnet der Rechner ihn in Bogenmaß (θ_rad = θ_deg × π/180) um, bevor er eine Formel ausführt, und rechnet ihn dann zur Anzeige zurück, sodass Sie nie eine unbekannte Einheit sehen, es sei denn, Sie fragen danach.
Sektorfläche (½r²θ) und Sehnenlänge (2r·sin(θ/2)) liegen beide außerhalb des gleichen bekannten Radius und Winkels, sodass alle drei Ergebnisse aktualisiert werden sobald Sie eine Eingabe ändern. Wenn man nach dem Radius (r = s/θ) oder dem Winkel (θ = s/r) rückwärts auflöst, wird lediglich die gleiche s = rθ-Formel neu angeordnet.
Eingaben und was sie bedeuten
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Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu seinem Rand – jede konsistente Einheit funktioniert (Zoll, Meter, Meilen), solange Sie konsistent sind. Der Zentralwinkel gibt an, wie breit das Kreisstück ist, entweder in Grad (die Alltagseinheit, bei der ein Vollkreis 360° beträgt) oder im Bogenmaß (die mathematische Einheit, bei der ein Vollkreis 2π ≈ 6,283 beträgt). Die Bogenlänge ist die gekrümmte Distanz entlang der Kante des Kreises, die der Winkel überstreicht.
Der „Solve for“-Wähler steuert, welche dieser drei die Unbekannte ist: Lassen Sie ihn auf „Bogen & Sektor“, um vorwärts aus Radius und Winkel zu berechnen, oder schalten Sie ihn auf „Radius“ oder „Winkel“ um, um von einer bekannten Bogenlänge rückwärts zu arbeiten.
Grenzen und Randfälle
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Radius und Winkel müssen beide positive Zahlen sein – ein Null- oder negativer Radius oder Winkel beschreibt keinen echten Bogen. Bei der Berechnung des Winkels aus einer bekannten Bogenlänge und einem bekannten Radius darf die Bogenlänge den Umfang des Kreises (2πr) nicht überschreiten, da ein einzelner Bogen nicht länger sein kann als der gesamte Kreis, zu dem er gehört; Der Rechner markiert dies, anstatt einen Winkel größer als 360° zurückzugeben.
Bei genau einem Vollkreis (θ = 2π Bogenmaß = 360°) funktioniert die Sehnenformel immer noch, wird aber trivial – die beiden „Endpunkte“ eines Vollkreises sind der gleiche Punkt, sodass die Sehnenlänge 0 ist, während die Bogenlänge dem vollen Umfang 2πr entspricht. Dieser Rechner verarbeitet nur ebene Kreise (2D, Euklidisch); Es ist nicht für Bögen auf einer Kugel oder einer anderen gekrümmten Oberfläche gedacht.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Welche Formel verwendet dieser Rechner für die Bogenlänge?+
Bogenlänge s = rθ, wobei r der Radius und θ der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß ist. Wenn Sie Grad eingeben, rechnet der Rechner zuerst in Bogenmaß um (θ_rad = θ_deg × π/180), da die Formel nur im Bogenmaß funktioniert.
Wie lautet die Sektorflächenformel?+
Sektorfläche = ½r²θ, wobei θ wiederum im Bogenmaß angegeben ist. Dies ist die gleiche Form wie die Vollkreisflächenformel πr² – das Einsetzen von θ = 2π (ein Vollkreis) ergibt ½r²(2π) = πr², was bestätigt, dass die Formel an der Grenze konsistent ist.
Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?+
Multiplizieren Sie den Gradwert mit π/180 (ungefähr 0,017453). Zum Beispiel 60° × π/180 ≈ 1,0472 Bogenmaß. Dieser Rechner führt die Umrechnung automatisch durch – wählen Sie einfach Grad oder Bogenmaß aus der Einheitenauswahl neben dem Winkelfeld aus.
Wie lautet die Formel für die Sehnenlänge und wie unterscheidet sie sich von der Bogenlänge?+
Sehnenlänge = 2r·sin(θ/2). Die Sehne ist der geradlinige Abstand zwischen den beiden Endpunkten des Bogens, während die Bogenlänge der Abstand entlang der Kurve ist. Die Sehne ist immer kürzer als (oder bei θ = 0 gleich) der Bogen, da eine gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist.
Kann dieser Rechner nach dem Radius oder dem Winkel anstelle des Bogens auflösen?+
Ja. Verwenden Sie das Dropdown-Menü „Auflösen nach“, um den Rechner in den umgekehrten Modus zu schalten: Wählen Sie „Radius“, um r = s/θ aus einer bekannten Bogenlänge und einem bekannten Winkel zu lösen, oder wählen Sie „Winkel“, um θ = s/r aus einer bekannten Bogenlänge und einem bekannten Radius zu lösen.
Was passiert bei einem vollständigen 360°-Kreis?+
Bei θ = 2π Bogenmaß (360°) ergibt die Bogenlängenformel s = 2πr – die bekannte Umfangsformel – und die Sektorfläche ergibt A = πr², die bekannte Kreisflächenformel. Die Sehnenlänge sinkt auf 0, da die „zwei Endpunkte“ des Bogens tatsächlich die gleichen Punkte auf einem Vollkreis sind.
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