Der Mittelwert und die Standardabweichung sagen Ihnen, wo ein Datensatz zentriert ist und wie weit er verteilt ist, aber sie sagen nichts über seine Form aus. Schiefe und Kurtosis füllen diese Lücke – Schiefe misst die Asymmetrie und Kurtosis misst das Schwanzgewicht und die Spitze – und geben Ihnen ein umfassenderes Bild davon, wie eine Verteilung tatsächlich aussieht.
Was Ihnen die Schiefe sagt
Schiefe beschreibt, welche Seite der Verteilung den längeren Schwanz hat. Eine positive Schiefe bedeutet, dass sich der Schwanz nach rechts ausdehnt – eine Handvoll ungewöhnlich hoher Werte ziehen den Durchschnitt nach oben, weshalb Haushaltseinkommen, Immobilienpreise und Wartezeiten typischerweise alle rechtsschief sind. Eine negative Schiefe bedeutet, dass sich der Schwanz nach links ausdehnt, was seltener vorkommt, sich aber in Dingen wie dem Alter bei Renteneintritt oder Prüfungsergebnissen zeigt, die in der Nähe eines Maximums liegen. Eine Schiefe nahe Null bedeutet, dass die Verteilung ungefähr symmetrisch ist, wie Höhen oder Messfehler, die um einen wahren Wert gruppiert sind.
Was Kurtosis Ihnen sagt
Kurtosis beschreibt das Schwanzgewicht – wie wahrscheinlich Extremwerte sind – und wie scharf die Verteilung in der Nähe ihrer Mitte ihren Höhepunkt erreicht. Dieser Rechner meldet überschüssige Kurtosis, also reine Kurtosis minus 3, sodass eine Normalverteilung immer 0 lautet. Eine positive überschüssige Kurtosis (leptokurtic) bedeutet, dass sich mehr Daten in einem scharfen zentralen Peak und mehr in den extremen Ausläufern befinden, mit weniger dazwischen – Finanzrenditen sind ein klassisches Beispiel, bei dem ruhige Phasen üblich sind, es aber auch seltene schwere Abstürze gibt. Eine negative überschüssige Kurtosis (Platykurtic) bedeutet, dass die Daten gleichmäßiger verteilt sind, mit einer flacheren Spitze und dünneren Enden, wie bei einer gleichmäßigen Verteilung.
Warum sich Populations- und Stichprobenformeln unterscheiden
Genau wie Varianz haben Schiefe und Kurtosis separate Grundgesamtheits- und Stichprobenformeln. Wenn Sie nur über eine Stichprobe verfügen, handelt es sich bei den Rohformeln (Bevölkerungsformeln) um leicht verzerrte Schätzungen der wahren Bevölkerungsform. Daher wenden Statistiker Korrekturfaktoren an – den angepassten Fisher-Pearson-Koeffizienten für die Schiefe und eine ähnliche verzerrungskorrigierte Formel für die Kurtosis –, die aus begrenzten Daten genauere Schätzungen liefern. Der Unterschied zwischen den beiden Formeln nimmt mit zunehmender Stichprobengröße ab; Bei nur wenigen Punkten kann die Wahl des Schätzers die Antwort spürbar verändern.