Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis eintritt, ausgedrückt als Zahl von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Ganz gleich, ob Sie Münzen werfen, die Produktion einer Fabrik inspizieren oder ein Kartenspiel planen, die Wahrscheinlichkeit bietet Ihnen einen strengen Rahmen für das Denken unter Unsicherheit. Dieser Leitfaden behandelt die wichtigsten Formeln, wann die einzelnen Modi zu verwenden sind und wie die Ergebnisse zu interpretieren sind.
Grundlegende Wahrscheinlichkeit und die Komplementregel
Die einfachste Form der Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Ergebnisse: P(A) = günstig / insgesamt. Dies gilt, wenn jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist – eine bestimmte Zahl auf einem fairen Würfel würfeln, eine bestimmte Karte aus einem gemischten Stapel ziehen oder eine bestimmte Kugel aus einem Beutel auswählen.
Die Komplementregel besagt P(A') = 1 − P(A). Bei einer Regenwahrscheinlichkeit von 30 % liegt die Chance, dass es nicht regnet, bei 70 %. Quoten wandeln die Wahrscheinlichkeit in ein Verhältnis um: Quote für ein Ereignis = günstig : (insgesamt − günstig). Eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 entspricht einer Quote von 1:5.
Binomialverteilung: Wiederholte unabhängige Versuche
Die Binomialverteilungsmodelle experimentieren mit n unabhängigen Versuchen, die jeweils zu Erfolg (Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg (Wahrscheinlichkeit 1−p) führen. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge beträgt P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k). Diese Formel besteht aus drei Komponenten: C(n,k) zählt die Anzahl der Möglichkeiten, auf denen k Erfolge auftreten können, p^k ist die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen und (1−p)^(n−k) ist die Wahrscheinlichkeit der verbleibenden Fehler.
Die kumulative Wahrscheinlichkeit P(X≤k) summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k und ist besonders nützlich für die Qualitätskontrolle (Ablehnung, wenn mehr als k Fehler) und Hypothesentests (p-Wert-Berechnung). Der Erwartungswert E(X) = n×p ist die durchschnittliche Anzahl an Erfolgen, die Sie über viele Wiederholungen des Experiments hinweg beobachten würden.
Kombinationen und Permutationen: Zählen, ohne jeden Fall zu berechnen
Kombinationen (nCr) zählen die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Permutationen (nPr) zählen geordnete Anordnungen. Der Hauptunterschied: Die Auswahl eines Komitees aus 3 aus 10 Personen ist eine Kombination (C(10,3) = 120), aber die Vergabe des ersten, zweiten und dritten Platzes aus 10 Finalisten ist eine Permutation (P(10,3) = 720). Permutationen sind immer ≥ Kombinationen für dasselbe n und k, da jede Kombination in k angeordnet werden kann! Möglichkeiten.
Beide Formeln verwenden Fakultäten und sind durch Gleitkommagenauigkeit für n > 170 begrenzt (wobei n! den Zahlenbereich von JavaScript überschreitet). Für größere Werte verwenden Sie Logarithmen von Fakultäten oder spezielle Bibliotheken für große Zahlen.