Die Poisson-Verteilung beantwortet eine spezifische, sehr häufige Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass etwas im nächsten Intervall eine bestimmte Anzahl von Malen passiert, vorausgesetzt, dass es mit einer bekannten Durchschnittsrate geschieht? Es ist das Standardtool zur Modellierung von Anrufvolumina, Website-Fehlern, Kundenankünften, Versicherungsansprüchen und jeder anderen Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse – dieser Rechner führt die exakte Formel aus, sodass Sie eine genaue Wahrscheinlichkeit anstelle einer Bauchgefühlsschätzung erhalten.

So funktioniert die Poisson-Formel

Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion P(X=k) = lambda^k * e^-lambda / k! hat genau eine Eingabe: Lambda, die Durchschnittsrate. Alles andere – der Mittelwert, die Varianz, die Form der Kurve – fällt aus dieser einzelnen Zahl heraus. Kleine Lambda-Werte erzeugen eine Verteilung, die stark in Richtung 0- und 1-Ereignisse verzerrt ist; Wenn Lambda über etwa 10 steigt, ähnelt die Verteilung zunehmend einer symmetrischen Glockenkurve und nähert sich einer Normalverteilung. Der Rechner wertet diese Formel mithilfe der Logarithmus-Arithmetik exakt aus, sodass sie auch für große k genau bleibt, bei denen eine literale Fakultät überlaufen würde.

Genau, höchstens und zumindest

Bei den meisten echten Fragen geht es nicht wirklich um eine genaue Zählung. „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von höchstens zwei Fehlern?“ summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 2; „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem Ausfall?“ ist 1 minus der Wahrscheinlichkeit von genau 0. Auf der Registerkarte „Kumulative“ werden P(X=k), P(X<=k) und P(X>=k) nebeneinander für jedes benachbarte k angezeigt, sodass Sie ablesen können, von welchem Rahmen Ihre Entscheidung tatsächlich abhängt, ohne den Rechner für jeden Schwellenwert erneut ausführen zu müssen.

Wann Poisson zutrifft – und wann nicht

Poisson geht davon aus, dass Ereignisse unabhängig voneinander mit einer konstanten Durchschnittsrate ablaufen und dass zwei Ereignisse nicht buchstäblich gleichzeitig auftreten können. Es bricht zusammen, wenn sich Ereignisse häufen – ein einzelner Stromausfall, der zehn gleichzeitige Warnungen auslöst, sind nicht zehn unabhängige Ereignisse – oder wenn sich die Rate selbst im Laufe des Intervalls ändert, wie z. B. ein Anstieg des Anrufvolumens während einer Werbeaktion. In diesen Fällen scheint die Rohzahl im Vergleich zu Poissons Vorhersagen zu stark gestreut zu sein, und ein anderes Modell (z. B. eine negative Binomialverteilung) passt normalerweise besser.