Die hypergeometrische Verteilung beantwortet eine Frage, die die Binomialverteilung nicht beantworten kann: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen, wenn man eine Stichprobe aus einer endlichen Grundgesamtheit zieht und nichts zurückgibt? Kartenhände, Lotterieziehungen und Qualitätskontrollproben aus einer fertigen Charge passen alle in dieses Muster. Dieser Rechner berechnet exakte, höchstens und mindestens Wahrscheinlichkeiten zusammen mit dem Mittelwert und der Standardabweichung der Verteilung, sodass Sie von Grundgesamtheit, Erfolgen und Stichprobengröße direkt zu einer verwendbaren Wahrscheinlichkeit gelangen können.
So funktioniert die hypergeometrische Formel
Die hypergeometrische PMF, P(X = k) = C(K,k)·C(N−K, n−k) / C(N,n), ist eher ein Verhältnis von Kombinationszahlen als ein Produkt von Wahrscheinlichkeiten. Der Zähler zählt jeden Weg, um eine Stichprobe mit genau k Erfolgen zu erstellen: C(K,k) Wege, um auszuwählen, welche Erfolge einbezogen werden, mal C(N−K, n−k) Wege, um den Rest der Stichprobe mit Nichterfolgen zu füllen. Der Nenner C(N,n) ist die Gesamtzahl gleichwahrscheinlicher Stichproben der Größe n, die Sie aus der gesamten Grundgesamtheit ziehen könnten, unabhängig davon, wie viele Erfolge sie enthalten. Die Division der günstigen Anzahl durch die Gesamtanzahl ergibt die genaue Wahrscheinlichkeit – dieselbe kombinatorische Logik wie hinter den Kartenhand-Wahrscheinlichkeiten beim Poker und Bridge.
Eingaben und was sie bedeuten
Die Populationsgröße (N) ist die Gesamtzahl der verfügbaren Elemente und muss eine ganze Zahl sein. Dieser Rechner unterstützt aus Gründen der numerischen Stabilität bis zu 1.000. Erfolge in der Grundgesamtheit (K) geben an, wie viele dieser N Elemente als „Erfolg“ gelten – sie müssen zwischen 0 und N liegen. Die Stichprobengröße (n) gibt an, wie viele Elemente Sie auf einmal ohne Ersatz ziehen, ebenfalls zwischen 0 und N. Beobachtete Erfolge (k) ist die Anzahl, nach der Sie fragen, und ihr gültiger Bereich ist enger als 0 bis n: k darf K nicht überschreiten (es gibt nicht mehr zu ziehende Erfolge als es gibt) und darf nicht so niedrig sein, dass er erreicht wird würde mehr Ausfälle erfordern, als tatsächlich in der Bevölkerung vorhanden sind. Der Vergleichstyp funktioniert genau wie der Binomialrechner – höchstens genau oder zumindest –, arbeitet jedoch immer in diesem auf die Population beschränkten Bereich.
Hypergeometrisch vs. binomial: wann jeweils zutrifft
Beide Verteilungen zählen Erfolge über wiederholte Ziehungen hinweg, sie reagieren jedoch auf unterschiedliche Stichprobenkonfigurationen. Bei der Binomialverteilung wird davon ausgegangen, dass Sie eine Stichprobe mit Ersetzung (oder aus einer praktisch unendlichen Grundgesamtheit) auswählen, sodass jede Ziehung unabhängig ist und sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p nie ändert. Bei der hypergeometrischen Verteilung wird davon ausgegangen, dass Sie ohne eine Stichprobe aus einer bekannten, endlichen Grundgesamtheit ziehen, sodass sich bei jeder Ziehung die Wahrscheinlichkeit für die nächste ändert – wenn Sie ein Herz aus einem Kartenstapel ziehen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Herz gezogen wird, etwas unwahrscheinlicher. Als Faustregel gilt: Wenn die Stichprobengröße n im Verhältnis zur Populationsgröße N klein ist (ungefähr n/N unter 5 %), liefern die beiden Verteilungen sehr ähnliche Antworten und die einfachere Binomialformel wird häufig als Näherungswert verwendet. Wenn N klein ist oder n ein großer Bruchteil von N ist – zum Beispiel eine 5-Karten-Pokerhand aus einem 52-Karten-Deck – ist der Unterschied wichtig und die hypergeometrische Formel ist die richtige.