Das harmonische Mittel ist der Durchschnitt aus Raten, Verhältnissen und Geschwindigkeiten – Situationen, in denen das arithmetische Mittel stillschweigend die falsche Antwort liefert. Es taucht überall dort auf, wo eine Menge „pro Einheit“ von etwas anderem ausgedrückt wird, von der durchschnittlichen Fahrgeschwindigkeit bis zum F1-Score, der zur Bewertung von Modellen für maschinelles Lernen verwendet wird.
Wie das harmonische Mittel funktioniert
Der harmonische Mittelwert wird berechnet, indem der Kehrwert jedes Werts gebildet, dieser Kehrwert gemittelt und dann der Kehrwert dieses Durchschnitts gebildet wird: HM = n / Σ(1/xᵢ). Da es mit Kehrwerten arbeitet, zieht ein einzelner kleiner Wert den harmonischen Mittelwert überproportional nach unten – was genau das Verhalten ist, das Sie bei der Mittelung von Raten wünschen, da ein langsamer Abschnitt einer Reise oder eine niedrige Präzisionsbewertung den Durchschnitt dominieren sollte und nicht durch einen schnellen oder hohen Wert an anderer Stelle im Satz verwaschen werden sollte.
Durchschnittsgeschwindigkeit: Warum das harmonische Mittel alles richtig macht
Wenn Sie auf einer Teilstrecke 40 Meilen pro Stunde und auf der Rückstrecke über die gleiche Distanz 60 Meilen pro Stunde fahren, beträgt Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt 48 Meilen pro Stunde – nicht der arithmetische Durchschnitt von 50 Meilen pro Stunde. Das liegt daran, dass Sie mehr Zeit damit verbringen, mit langsamerer Geschwindigkeit als mit schnellerer Geschwindigkeit zu fahren, und die Durchschnittsgeschwindigkeit ist eigentlich die Gesamtstrecke dividiert durch die Gesamtzeit und nicht der Durchschnitt der beiden Zahlen selbst. Das harmonische Mittel der Beingeschwindigkeiten ergibt genau diesen Wert, sofern jedes Bein die gleiche Strecke zurücklegt. Wenn Ihre Beine unterschiedliche Distanzen zurücklegen, ist das einfache harmonische Mittel nicht mehr korrekt – Sie müssten jede Geschwindigkeit mit der Distanz oder Zeit gewichten, die sie tatsächlich zurücklegt.
Harmonisches Mittel vs. arithmetisches und geometrisches Mittel
Alle drei sind „pythagoräische Mittel“, aber sie beantworten unterschiedliche Fragen. Das arithmetische Mittel summiert Werte und dividiert durch die Anzahl – die richtige Wahl für einfache Summen. Das geometrische Mittel multipliziert Werte und zieht die n-te Wurzel – die richtige Wahl für Wachstumsraten und -verhältnisse, die sich im Laufe der Zeit verstärken. Der harmonische Mittelwert summiert Kehrwerte – die richtige Wahl für Raten und Geschwindigkeiten. Für jede Menge positiver Zahlen, die nicht alle identisch sind, gilt immer HM ≤ GM ≤ AM, wobei die Lücke zwischen ihnen größer wird, je weiter die Werte auseinanderliegen.