Das geometrische Mittel beantwortet eine andere Frage als das bekannte arithmetische Mittel: Anstelle von „Welcher Wert ergibt n-mal addiert die gleiche Summe?“ Es antwortet: „Welcher Wert ergibt, n-mal mit sich selbst multipliziert, das gleiche Produkt?“ Diese Unterscheidung ist immer dann wichtig, wenn die Zahlen, die Sie mitteln, multiplikativ kombiniert werden – Wachstumsraten, Anlagerenditen, Kennzahlen und Indexzahlen –, wobei das arithmetische Mittel stillschweigend eine voreingenommene Antwort liefert.
So funktioniert der Rechner für geometrische Mittel
Der Rechner nimmt den natürlichen Logarithmus jedes eingegebenen Werts, mittelt diese Logarithmen und potenziert das Ergebnis – mathematisch identisch mit der Bildung der n-ten Wurzel des Produkts, aber numerisch weitaus stabiler, wenn die Werte groß oder zahlreich sind (die direkte Multiplikation Dutzender großer Zahlen kann die Standard-Gleitkomma-Mathematik überlaufen lassen, lange bevor die Log-Space-Version in Schwierigkeiten gerät).
Warum das geometrische Mittel nie größer ist als das arithmetische Mittel
Dies ist eine mathematische Tatsache (die AM-GM-Ungleichung), die für jede Menge positiver Zahlen gilt: Das arithmetische Mittel ist immer größer oder gleich dem geometrischen Mittel, wobei Gleichheit nur dann besteht, wenn alle Werte identisch sind. Intuitiv wird das geometrische Mittel durch die kleinsten Werte in der Menge stärker nach unten gezogen als das arithmetische Mittel – eine einzelne sehr kleine Zahl zieht das Produkt (und damit das geometrische Mittel) stark nach unten, während sie die Summe (und das arithmetische Mittel) nur sanft nach unten verschiebt.
Wann sollte das geometrische Mittel anstelle des arithmetischen Mittels verwendet werden?
Verwenden Sie das geometrische Mittel immer dann, wenn die Mengen eine multiplikative Veränderung darstellen: eine Reihe von Anlagerenditen, Wachstumsprozentsätze im Jahresvergleich oder Index-/Verhältniswerte. Durch die Mittelung einer Folge von Wachstumsraten mit dem arithmetischen Mittel wird das tatsächliche durchschnittliche Wachstum systematisch überbewertet, da der Zinseszinseffekt ignoriert wird – ein Gewinn von 50 %, gefolgt von einem Verlust von 50 %, ist keine durchschnittliche Änderung von 0 % (das arithmetische Mittel sagt 0 % aus), sondern tatsächlich ein Nettoverlust (das geometrische Mittel zeigt dies korrekt). Verwenden Sie das arithmetische Mittel für Mengen, die sich auf natürliche Weise summieren, z. B. die Gesamtstrecke oder die Gesamtkosten.
Grenzen und Randfälle
Das geometrische Mittel ist für null oder negative Zahlen undefiniert, da ein negativer oder null Faktor im Produkt entweder das Vorzeichen unvorhersehbar über eine gerade/ungerade Anzahl von Negativen umdreht oder das gesamte Produkt auf Null reduziert. Wenn Ihre Daten berechtigterweise Nullwerte oder negative Werte enthalten (Nettoverluste, Temperatur in Celsius usw.), ist das geometrische Mittel das falsche Werkzeug – verwenden Sie das arithmetische Mittel oder verschieben Sie Ihre Daten zuerst auf eine positive Skala, wenn dies für Ihren Anwendungsfall sinnvoll ist.