Die geometrische Verteilung beantwortet die Frage „Wie viele Versuche bis?“: Wenn Sie ein unabhängiges Ja/Nein-Experiment jedes Mal mit der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit wiederholen, wie wahrscheinlich ist es dann, dass der erste Erfolg bei einem bestimmten Versuch landet? Dieser Rechner berechnet genaue, höchstens und mindestens Wahrscheinlichkeiten zusammen mit dem Mittelwert, der Varianz und der Standardabweichung der Verteilung, sodass Sie von einer Wahrscheinlichkeit pro Versuch direkt zu einer brauchbaren Antwort über das Timing gelangen können.
So funktioniert die geometrische Formel
Die geometrische PMF, P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p, zerfällt in zwei Teile, die beide auftreten müssen. (1 − p)^(k − 1) ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder der ersten k − 1 Versuche fehlschlägt – eine Kette unabhängiger Fehler mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von 1 − p. p ist die Wahrscheinlichkeit, dass der k-te Versuch dann erfolgreich ist. Die Multiplikation der beiden ergibt die Wahrscheinlichkeit dieser spezifischen Sequenz: Scheitern, Scheitern, …, Scheitern, Erfolg. Da es keine feste Versuchsgrenze wie das n der Binomialverteilung gibt, kann k theoretisch jede positive ganze Zahl sein, wobei die Wahrscheinlichkeit geometrisch abnimmt (daher der Name), wenn k wächst.
Eingaben und was sie bedeuten
Die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) wird als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 eingegeben (20 % ist 0,2, nicht 20) und stellt dieselbe feste Wahrscheinlichkeit dar, die auf jeden Versuch angewendet wird – sie muss größer als 0 sein, da eine Erfolgsquote von Null bedeuten würde, dass der erste Erfolg nie eintritt. Die Versuchsnummer (k) ist die Anzahl, nach der Sie fragen, immer eine positive ganze Zahl, beginnend bei 1 (es gibt keinen „Versuch 0“). Der Vergleichstyp – genau, höchstens oder zumindest – bestimmt, ob Sie eine Antwort mit exakter Wahrscheinlichkeit oder eine kumulative Summe erhalten; „höchstens k“ ist oft die praktischere Frage aus der Praxis („Wie hoch ist die Chance, dass wir innerhalb unserer ersten drei Anrufe einen Verkauf abgeschlossen haben“), da sie jedes Ergebnis bis zu einer Frist und nicht nur einen genauen Versuch erfasst.
Die gedächtnislose Eigenschaft und wann sie zutrifft
Die geometrische Verteilung erfordert die gleichen vier Bedingungen wie jeder Bernoulli-Prozess – unabhängige Versuche, genau zwei Ergebnisse pro Versuch und eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit – jedoch mit einer unbegrenzten Anzahl von Versuchen anstelle einer festen Anzahl. Sein markantestes Merkmal ist die gedächtnislose Eigenschaft: Zu wissen, dass der erste Erfolg bei Versuch m noch nicht eingetreten ist, sagt nichts darüber aus, wie viele Versuche noch nötig sind – die Chancen werden genau auf den Stand zurückgesetzt, den sie zu Beginn hatten. Dadurch eignet sich die geometrische Verteilung hervorragend für die Modellierung von Wartezeiten bis zu einem ersten Ereignis (erster Verkauf, erster Defekt, erste Kundenabwanderung), bei der jeder Versuch wirklich unabhängig vom letzten ist. Sie unterscheidet sich von der Binomialverteilung, die Erfolge innerhalb einer festen Anzahl von Versuchen zählt, anstatt den ersten zu messen, und von der negativen Binomialverteilung, die den geometrischen Fall auf den r-ten Erfolg und nicht nur auf den ersten verallgemeinert.