Die Exponentialverteilung modelliert die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis in einem Prozess, bei dem Ereignisse unabhängig voneinander mit einer konstanten Durchschnittsrate auftreten – Kundenankunft, Geräteausfälle, radioaktiver Zerfall oder Zeit zwischen Telefonanrufen. Dieser Rechner berechnet die Wahrscheinlichkeit, maximal, länger als oder zwischen bestimmten Zeitspannen zu warten, zusammen mit dem Mittelwert, dem Median und der Varianz der Verteilung.
So funktioniert der Exponentialverteilungsrechner
Der Rechner verwendet die exponentielle kumulative Verteilungsfunktion F(x) = 1 − e^(−λx), wobei λ (Lambda) der Ratenparameter ist – die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit. P(X ≤ x) wird direkt aus F(x) gelesen; P(X > x) ist das Komplement, 1 − F(x); und die Bereichswahrscheinlichkeit P(a < X < b) ist F(b) − F(a). Die zugrunde liegende Annahme ist ein Poisson-Prozess: Ereignisse geschehen unabhängig und mit einer konstanten Durchschnittsrate, ohne Erinnerung an vergangene Ereignisse.
Der Mittelwert (μ = 1/λ), der Median (ln(2)/λ) und die Varianz (1/λ²) werden alle direkt von λ abgeleitet. Da die Exponentialverteilung rechtsschief ist, ist der Median immer kleiner als der Mittelwert – die meisten Wartezeiten sind kürzer als der Durchschnitt, ausgeglichen durch eine geringere Anzahl viel längerer Wartezeiten.
Eingaben und was sie bedeuten
Rate (λ): die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit, ausgedrückt in Ereignissen pro Minute, pro Jahr oder einer anderen Zeiteinheit, die zu Ihrem Szenario passt – sie muss größer als Null sein. x: die spezifische Wartezeit, für die Sie eine Wahrscheinlichkeit auswerten, in derselben Zeiteinheit wie λ. Wahrscheinlichkeitstyp: Wählen Sie „Höchstens x“ für P(X ≤ x), „Mehr als x“ für P(X > x) oder „Ein Bereich“, um eine Untergrenze (a) und Obergrenze (b) für P(a < X < b) einzugeben. Der Ratenparameter hat den größten Einfluss auf jede Ausgabe – eine Verdoppelung von λ halbiert den Mittelwert, den Median und die Varianz.
Grenzen und Randfälle
Die Exponentialverteilung geht von einer konstanten Ereignisrate über die Zeit aus – sie passt nicht zu Prozessen, die schneller oder langsamer werden oder eine minimale Verzögerung aufweisen (wie Herstellungsprozesse mit einer festen Rüstzeit, bevor Fehler auftreten können). Wenn Abnutzung oder Alterung die Wahrscheinlichkeit von Ausfällen im Laufe der Zeit erhöhen, ist eine Weibull-Verteilung in der Regel besser geeignet. Die Exponentialverteilung modelliert auch nur die Wartezeit eines einzelnen Ereignisses; Verwenden Sie für die Zeit bis zum k-ten Ereignis in einem Poisson-Prozess stattdessen eine Gamma- oder Erlang-Verteilung. Aufgrund der gedächtnislosen Eigenschaft sollte dieser Rechner nicht für Szenarien verwendet werden, in denen die vergangene Zeit die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ereignisses verändert – die meisten mechanischen Verschleißprozesse in der realen Welt verstoßen gegen diese Annahme.