Kovarianz misst, ob zwei Variablen dazu neigen, sich gemeinsam zu bewegen, sich in entgegengesetzte Richtungen zu bewegen oder überhaupt keine konsistente lineare Beziehung aufweisen. Es ist der Baustein hinter Korrelation, Regression und Portfoliovarianz im Finanzwesen – dieser Rechner durchläuft die Populations- und Stichprobenversionen nebeneinander und zeigt, wie sich die Kovarianz in den bekannteren Pearson-Korrelationskoeffizienten standardisiert.
Wie Kovarianz funktioniert
Kovarianz summiert das Produkt der Abweichung jedes Punkts vom X-Mittelwert und dem Y-Mittelwert: Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ). Wenn das X eines Punktes über dem Durchschnitt liegt und gleichzeitig sein Y über dem Durchschnitt liegt (oder beide unter dem Durchschnitt), ist dieses Produkt positiv und zieht die Summe und die Kovarianz nach oben. Wenn einer über dem Durchschnitt liegt, während der andere darunter liegt, ist das Produkt negativ – was die Summe nach unten zieht. Eine Kovarianz nahe Null bedeutet, dass sich diese positiven und negativen Produkte ungefähr aufheben, was darauf hindeutet, dass keine konsistente lineare Tendenz vorliegt.
Grundgesamtheit vs. Stichprobe – warum sich der Divisor ändert
Die Populationskovarianz dividiert die Summe der Abweichungsprodukte durch N, die Gesamtzahl – angemessen, wenn Ihre Daten bereits die gesamte Gruppe umfassen, die Sie interessieren. Stattdessen wird die Stichprobenkovarianz durch n − 1 geteilt. Diese als Bessel-Korrektur bekannte Anpassung erfolgt, weil der eigene Mittelwert einer Stichprobe aus denselben Daten berechnet wird, die zur Messung der Abweichungen verwendet wurden, wodurch die tatsächliche Variabilität im Vergleich zur größeren Population, aus der die Stichprobe gezogen wurde, etwas unterschätzt wird. Die Division durch eine kleinere Zahl (n − 1 statt n) erhöht die Schätzung gerade so weit, dass diese Verzerrung korrigiert wird, wodurch die Stichprobenstatistik zu einem unverzerrten Schätzer der Populationskovarianz wird.
Beziehung zur Korrelation
Die größte Einschränkung der Kovarianz besteht darin, dass ihr Betrag von den Einheiten und der Skalierung der Variablen abhängt. Die Pearson-Korrelation löst dieses Problem, indem sie die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen beider Variablen teilt: r = Cov(X,Y) / (σx · σy). Dadurch wird der Wert unabhängig von den ursprünglichen Einheiten auf den Bereich von −1 bis +1 skaliert. Deshalb eignet sich die Korrelation meist besser, um Zusammenhänge zwischen verschiedenen Datensätzen zu vergleichen. Die Kovarianz bleibt jedoch wichtig, wenn die tatsächliche Skalierung der Variablen relevant ist, etwa bei Portfolio-Varianzberechnungen.