Der zentrale Grenzwertsatz (CLT) ist eines der nützlichsten Ergebnisse in der Statistik: Unabhängig davon, wie die Werte einer Grundgesamtheit verteilt sind, bilden die Mittelwerte wiederholter Zufallsstichproben daraus ein vorhersagbares, annähernd normales Muster. Dieser Rechner wandelt diesen Satz in drei praktische Zahlen um – den Mittelwert und die Streuung der Stichprobenverteilung sowie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stichprobenmittelwert in einen Bereich fällt, der Ihnen wichtig ist.
So funktioniert der Rechner des zentralen Grenzwertsatzes
Anhand eines Grundgesamtheitsmittelwerts (μ), einer Grundgesamtheitsstandardabweichung (σ) und einer Stichprobengröße (n) berechnet der Rechner den Standardfehler des Mittelwerts, SE = σ/√n – die Standardabweichung der Stichprobenverteilung von x̄. Bei der CLT ist diese Stichprobenverteilung bei μ zentriert und wird ungefähr normal, wenn n wächst. Dadurch kann der Rechner die Standardnormalverteilung verwenden, um Wahrscheinlichkeitsfragen zu x̄ zu beantworten.
Für die Wahrscheinlichkeitsansichten wird ein mittlerer Stichprobenschwellenwert (oder ein Unter-/Obergrenzenpaar) unter Verwendung von z = (x̄ − μ)/SE in einen Z-Score umgewandelt, und die entsprechende Fläche unter der Standardnormalkurve gibt die Wahrscheinlichkeit an.
Eingaben und was sie bedeuten
Bevölkerungsdurchschnitt (μ) ist der wahre Durchschnitt der gesamten Bevölkerung – in der Praxis oft unbekannt, wird hier jedoch als bekannt vorausgesetzt, damit das Verhalten des Theorems klar ist. Die Populationsstandardabweichung (σ) misst, wie weit einzelne Werte in der Population verteilt sind. Ein größerer σ bedeutet, dass einzelne Messungen stärker variieren, was auch die Stichprobenverteilung erweitert. Stichprobengröße (n) gibt an, wie viele Beobachtungen in jeden Stichprobenmittelwert einfließen – sie hat einen übergroßen Einfluss auf die Präzision, da SE mit der Quadratwurzel von n schrumpft, sodass eine Vervierfachung der Stichprobengröße den Standardfehler nur halbiert.
Grenzen und Randfälle
Die diesem Rechner zugrunde liegende Normalnäherung ist am zuverlässigsten, wenn n mindestens etwa 30 beträgt oder wenn die Grundgesamtheit selbst bereits ungefähr normal ist (in diesem Fall funktionieren auch kleine Stichproben gut). Bei stark verzerrten Populationen mit kleinem n kann die Stichprobenverteilung immer noch merklich vom Normalwert abweichen, und Wahrscheinlichkeitsschätzungen sollten hier als Näherungswerte betrachtet werden. Der Rechner geht außerdem davon aus, dass die Grundgesamtheitsstandardabweichung σ bekannt ist; Wenn σ aus einer Stichprobe geschätzt werden muss, ist eine auf der T-Verteilung basierende Methode für kleinere Stichproben besser geeignet.