Die Binomialverteilung beantwortet eine spezifische, aber äußerst häufige Frage: Wenn Sie ein unabhängiges Ja/Nein-Experiment eine festgelegte Anzahl von Malen wiederholen, wie wahrscheinlich ist dann eine bestimmte Anzahl von Erfolgen? Dieser Rechner berechnet genaue, höchstens und mindestens Wahrscheinlichkeiten zusammen mit dem Mittelwert und der Standardabweichung der Verteilung, sodass Sie von „Wie viele Versuche und welche Quoten“ direkt zu einer brauchbaren Wahrscheinlichkeit gelangen können.

So funktioniert die Binomialformel

Das binomiale PMF, P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), zerfällt in drei Teile. C(n,k) – „n wähle k“ – zählt, wie viele verschiedene Reihenfolgen von k Erfolgen bei n Versuchen möglich sind; Ohne sie würden Sie nur die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Bestellung erfassen, nicht alle gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten, k Erfolge zu erzielen. p^k ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Menge von k Versuchen alle erfolgreich sind, und (1−p)^(n−k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibenden Versuche alle fehlschlagen. Durch Multiplizieren der drei Terme und, bei kumulativen Fragen, Summieren über jedes relevante k erhält man das vollständige Wahrscheinlichkeitsbild.

Eingaben und was sie bedeuten

Trials (n) ist die feste Anzahl unabhängiger Wiederholungen – es muss eine ganze Zahl sein und dieser Rechner unterstützt aus Gründen der numerischen Stabilität bis zu 1.000. Die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) wird als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 eingegeben (50 % ist 0,5, nicht 50) und stellt dieselbe feste Wahrscheinlichkeit dar, die auf jeden Versuch angewendet wird. Erfolge (k) ist die Anzahl, nach der Sie fragen, immer zwischen 0 und n. Der Vergleichstyp – genau, höchstens oder zumindest – bestimmt, ob Sie eine Antwort mit exakter Wahrscheinlichkeit oder eine kumulative Summe erhalten; „mindestens k“ ist normalerweise die nützlichere Frage aus der Praxis (z. B. „mindestens 8 von 10 Freiwürfen“), da sie jedes Ergebnis erfasst, das eine Leiste überschreitet, und nicht eine genaue Zählung.

Wenn es gilt, und die normale Näherung

Das Binomialmodell erfordert vier Bedingungen: eine feste Anzahl von Versuchen, genau zwei Ergebnisse pro Versuch, eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit über alle Versuche hinweg und Unabhängigkeit zwischen den Versuchen (das Ergebnis eines Versuchs kann die Chancen eines anderen Versuchs nicht ändern). Eine ersatzlose Stichprobe aus einer kleinen Population verstößt gegen die Unabhängigkeit und erfordert stattdessen die hypergeometrische Verteilung. Wenn n groß ist und p nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegt (eine allgemeine Faustregel: np ≥ 5 und n(1−p) ≥ 5), wird die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit dem gleichen Mittelwert und der gleichen Standardabweichung gut angenähert – nützlich für schnelle mentale Schätzungen, obwohl dieser Rechner immer den genauen Binomialwert und nicht die Näherung berechnet.