Der Satz von Bayes ist die mathematische Regel zur Aktualisierung einer Überzeugung im Lichte neuer Erkenntnisse. Es liegt medizinischen Tests, Spam-Filtern, rechtlichen Überlegungen und alltäglichen Urteilen zugrunde – und es ist auch die Quelle eines der häufigsten Wahrscheinlichkeitsfehler, die Menschen machen: einem Beweisstück zu vertrauen, ohne zu berücksichtigen, wie selten die Sache, auf die getestet wird, tatsächlich ist.
So funktioniert der Rechner
Die Registerkarte „Theorem von Bayes“ wendet P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B) direkt auf alle Prior-Werte, Wahrscheinlichkeiten und Beweise an, die Sie eingeben. Die Registerkarte „Medizinischer Test“ ist dieselbe Formel mit unterschiedlichen Bezeichnungen: Sensitivität ist die Wahrscheinlichkeit P(B|A), Prävalenz ist der vorherige P(A) und die Evidenz P(B) – die Gesamtwahrscheinlichkeit eines positiven Tests – wird automatisch aus Sensitivität, Spezifität und Prävalenz abgeleitet, da man sie bei einem echten Test selten direkt kennt.
Warum der Basiszinssatz wichtiger ist als der Test
Die Genauigkeit eines Tests (Sensitivität und Spezifität) sagt Ihnen, wie gut der Test wahre Fälle und echte Nichtfälle erkennen kann. Aber was ein positives Ergebnis tatsächlich für Sie bedeutet, hängt ebenso stark von der Prävalenz bzw. Basisrate ab. Wenn eine Erkrankung selten ist, ist die Zahl der gesunden Menschen im Vergleich zur Zahl der kranken Menschen riesig, sodass selbst eine geringe Falsch-Positiv-Rate mehr Fehlalarme als echte Entdeckungen hervorruft. Dies zu ignorieren, ist der Grundzins-Irrtum, und deshalb sind Ärzte, Prognostiker und Betrugsanalysten darauf trainiert, sich immer zu fragen: „Wie häufig kommt das überhaupt vor?“ bevor Sie einem einzelnen positiven Signal vertrauen.
Direkte vs. medizinische Rahmung – gleiche Formel, zwei Namen
Die Registerkarten „Direkt“ und „Medizinischer Test“ berechnen die identische Berechnung des Bayes-Theorems; Sie verwenden lediglich domänenspezifische Namen für dieselben drei Zutaten. Wenn Sie die Zahlen eines Szenarios konsistent zwischen den beiden Registerkarten wechseln (prior = Prävalenz, Wahrscheinlichkeit = Sensitivität, Evidenz = die abgeleitete positive Testrate), erhalten Sie in beiden Fällen dasselbe Posterior – eine nützliche Plausibilitätsprüfung zum Verständnis der Formel und den Grund, warum die Standardwerte des Rechners auf beiden Registerkarten die gleiche Geschichte seltener Krankheiten erzählen.