Ein Kettenbruch schreibt eine Zahl als verschachtelten Stapel ganzzahliger Divisionen um, [a0; a1, a2, ...] und zeigt dabei die bestmöglichen rationalen Annäherungen an diese Zahl auf jeder Präzisionsebene auf. In diesem Leitfaden wird erklärt, wie die Erweiterung erstellt wird, wozu Konvergenzen gut sind und wie sich Kettenbrüche auf zwei Rechner beziehen, die Sie möglicherweise bereits verwenden: den euklidischen Algorithmus hinter dem GCF- und LCM-Rechner und einfache Brüche.
Wie die Erweiterung aufgebaut ist
Die Erweiterung funktioniert, indem eine Zahl wiederholt in ihren ganzzahligen Teil und ihren gebrochenen Rest zerlegt wird, dann der Rest auf den Kopf gestellt und wiederholt wird. Formal ist an = floor(xn) und der nächste Wert ist xn+1 = 1 / (xn - an). Das Durchführen eines exakten Bruchs durch diesen Prozess ist identisch mit dem Ausführen des Euklidischen Algorithmus auf dessen Zähler und Nenner – die erzeugte Folge der Quotienten ist genau die Folge der Teilquotienten im Kettenbruch. Aus diesem Grund endet auch die Entwicklung jeder rationalen Zahl: Der euklidische Algorithmus erreicht in endlich vielen Schritten immer einen Rest von 0.
Wozu Konvergenten gut sind
Das Abschneiden der Erweiterung nach n Termen ergibt ein konvergentes pn/qn, berechnet aus der Wiederholung pn = an·Sn-1 + Sn-2 und qn = an·qn-1 + qn-2. Konvergente sind nachweislich die besten verfügbaren rationalen Näherungen für ihre Nennergröße – kein anderer Bruch mit einem so kleinen Nenner kommt näher. Das ist genau der Grund, warum 22/7 und 355/113 die klassischen Näherungen für Pi sind, warum Kalenderreformvorschläge fortlaufende Bruchkonvergenz des Sonnenjahres verwenden, um Schaltjahrregeln festzulegen, und warum mechanische Räderwerke um Konvergenz herum konstruiert werden, wenn ein genaues Verhältnis nicht zu schneiden ist.
Abschließende vs. unendliche Erweiterungen
Jede rationale Zahl a/b hat einen endlichen Kettenbruch, und die letzte Konvergenz rekonstruiert a/b immer exakt – die Registerkarte „Schritte“ dieses Rechners zeigt, dass die Beendigung live erfolgt. Im Gegensatz dazu haben irrationale Zahlen unendliche Entwicklungen, die sich nie zu einer exakten Übereinstimmung wiederholen; Dieses Tool begrenzt die Anzeige auf die von Ihnen gewählte Max-Term-Einstellung (bis zu 30) und kennzeichnet das Ergebnis als begrenzt und nicht als exakt, wenn die wahre Erweiterung weitergeht. Wenn Sie mit einfachen Brüchen statt mit Erweiterungen arbeiten, decken der Bruchrechner und der Prime Factorization Calculator verwandte Bereiche ab, und der Modulo-Rechner macht die Restoperation verfügbar, aus der diese Erweiterung aufgebaut ist.