Das skalare Dreifachprodukt a·(b×c) kombiniert das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt zu einer einzigen Zahl, die misst, wie sich drei Vektoren im 3D-Raum verhalten. Es zeigt Ihnen das vorzeichenbehaftete Volumen des Parallelepipeds an, das die Vektoren aufspannen, und ob die drei Vektoren koplanar sind. Dieser Rechner wurde für Studenten und Ingenieure entwickelt, die eine schnelle, zuverlässige Antwort benötigen, ohne die Determinante manuell zu erweitern.
So funktioniert das Skalartripelprodukt
Das Skalartripelprodukt wird als a · (b × c) berechnet: Nehmen Sie zuerst das Kreuzprodukt von b und c, das einen neuen Vektor senkrecht zu beiden erzeugt, und bilden Sie dann das Skalarprodukt dieses Ergebnisses mit a. Algebraisch ist dies identisch mit dem Stapeln von a, b und c als drei Zeilen einer 3×3-Matrix und der Berechnung ihrer Determinante – dieser Rechner verwendet die Determinantenform intern, weil er eine Zwischenrundung durch die Berechnung des Kreuzprodukts als separaten Schritt vermeidet. Das Ergebnis ist immer eine einzelne Zahl, niemals ein Vektor.
Eingaben und was sie bedeuten
Jedes Feld ist eine Komponente eines von drei 3D-Vektoren: ax, ay, az für Vektor a; bx, by, bz für Vektor b; und cx, cy, cz für Vektor c. Alle neun Felder sind erforderlich – es gibt keinen 2D-Modus, da das Skalartripelprodukt nur für drei Vektoren in drei Dimensionen definiert ist. Die Reihenfolge ist wichtig: a·(b×c) ist dasselbe wie b·(c×a) und c·(a×b) (die zyklische Eigenschaft), aber wenn zwei beliebige Vektoren oder zwei beliebige Komponenten desselben Vektors inkonsistent vertauscht werden, wird das Vorzeichen des Ergebnisses umgekehrt.
Grenzen und Randfälle
Wenn das Ergebnis genau 0 ist, sind die drei Vektoren koplanar – sie liegen in einer einzigen Ebene und überspannen ein Nullvolumen. Dies geschieht auch, wenn zwei der drei Vektoren identisch oder parallel sind oder wenn einer der Vektoren der Nullvektor (0, 0, 0) ist. Da die Gleitkomma-Arithmetik geringfügige Rundungsfehler hinterlassen kann (z. B. 0,0000000000000002 anstelle einer sauberen 0), setzt dieser Rechner Ergebnisse nahe Null unter Verwendung einer skalenbewussten Toleranz auf genau 0, sodass wirklich koplanare Eingaben als koplanar und nicht als Streuzahl nahe Null gemeldet werden.