Die Spur ist eine der einfachsten Zahlen, die Sie aus einer quadratischen Matrix berechnen können, bietet jedoch überraschend viel Struktur – von einer schnellen Überprüfung der Plausibilität von Handberechnungen bis hin zu einer Abkürzung für die Summe der Eigenwerte einer Matrix. In diesem Leitfaden erfahren Sie, wie man es berechnet, was es bedeutet und wo es in der linearen Algebra auftaucht.
Wie die Ablaufverfolgung berechnet wird
Die Spur einer n×n-Matrix A, geschrieben tr(A), ist definiert als die Summe der Einträge auf ihrer Hauptdiagonale: tr(A) = A₁₁ + A₂₂ + ... + Aₙₙ. Jeder zweite Eintrag in der Matrix – alles außerhalb der Diagonale – wird vollständig ignoriert. Das macht die Spur zu einer der kostengünstigsten zu berechnenden Matrixgrößen: keine Multiplikation, keine Rekursion, nur eine Addition von n Zahlen.
Da die Spur nur von quadratischen Matrizen abhängt, ist für eine nichtquadratische Matrix (z. B. eine 3×4-Matrix) einfach keine Spur definiert. Genau aus diesem Grund erstellt dieser Rechner immer ein quadratisches n×n-Gitter.
Warum die Spur der Summe der Eigenwerte entspricht
Eine der nützlichsten Eigenschaften der Spur ist, dass tr(A) immer gleich der Summe der Eigenwerte von A ist, gezählt mit algebraischer Multiplizität – selbst wenn diese Eigenwerte irrational, komplex oder wiederholt sind. Dies folgt aus dem charakteristischen Polynom von A: Der Koeffizient auf dem Term zweithöchsten Grades ist (bis auf das Vorzeichen) die Spur, und nach Vietas Formeln entspricht dieser Koeffizient auch der Summe der Wurzeln des Polynoms, die genau die Eigenwerte sind.
Dies gibt Ihnen eine schnelle teilweise Überprüfung einer Eigenwertberechnung – wenn Sie Eigenwerte manuell oder mit Software berechnen und sie sich nicht zu der Spur summieren, die Sie direkt aus der Diagonale berechnet haben, ist etwas schiefgegangen falsch.
Nützliche Eigenschaften und Randfälle
Die Spur ist additiv: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) für zwei beliebige quadratische Matrizen gleicher Größe. Unter Multiplikation ist es auch zyklisch: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), obwohl die Matrixmultiplikation selbst nicht kommutativ ist (AB ≠ BA im Allgemeinen). Diese zyklische Eigenschaft ist der Grund, warum die Spur in der Physik und Statistik ständig auftaucht – Sie können damit Ketten von Matrixprodukten neu anordnen, ohne das Ergebnis zu ändern.
Ein Sonderfall, den Sie sich merken sollten: Die Spur jeder n×n-Identitätsmatrix ist einfach n, da jeder diagonale Eintrag 1 ist. Und weil die Spur jeden nicht diagonalen Eintrag ignoriert, können zwei sehr unterschiedlich aussehende Matrizen genau dieselbe Spur teilen – es ist eine Invariante, kein Fingerabdruck.